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群理论
Group theory
山东大学《离散数学》
内容回顾:
1、代数系统A,*
2、7种性质:封闭性,交换律,结合律,分配律,
消去律,吸收律,等幂律;
3、4个特出元素:单位元,逆元,零元,幂等律;
4、满同态映射下两个系统之间具有“6类保持”.
代数系统
A,* 半群
群,环,域 含幺半群
格与布尔代数
群(环,域)
Chapter 5
群 Group theory
§5.1 半群
5.1.1 半群的定义
定义:
设 S,* 是一个代数系统,如果 * 运算满足
结合律,则称 S,* 是一个半群。
举例:N,+,N, ,Z,+, Z, ,R,+,半群
N,-,N, ,Z,-,不能构成半群,运算不满足结合律
§5.1 半群
M (R), M (R)
举例: ,n是大于等于1的正整数。 实系数方阵
n n
M (R),
举例: ,n是大于等于1的正整数。
n
举例:P(S),,S非空集合,是集合的对称差。P(S) 幂集
A A A A 所有函数
举例: , ,A非空集合, 是函数的复合运算。
以上系统都可以组成半群。
§5.1 半群
例:假设S={a,b,c},在S上定义运算,如
运算表给出。证明S,是半群。
a b c 验证运算是可结合的。
a a b c (a b) c= a c=c ,a ( b c ) = a c= c
所以(a b) c= a ( b c )
b a b c
(b a) c=b ( a c ) 。。。等
c a b c 所以运算满足结合律, S,是半群
§5.1 半群
例:N, ◦,在N上定义运算◦,如下:
a ◦ b=a+b+a*b,证明N, ◦ 是半群;
(a ◦b) ◦c= (a ◦b) +c+ (a ◦b) *c a ◦(b◦c)= a+(b ◦c) +a *(b ◦c)
=(a+b+a*b)+c+(a+b+a*b)*c =a+(b+c+b*c)+a*(b+c+b*c)
=a+b+c+a*b+a*c+b*c+a*b*c =a+b+c+a*b+a*c+b*c+a*b*c
满足结合律a ◦(b ◦c)= (a ◦b) ◦c
◦定义如下:a ◦ b=a+b - a*b, 如何? 封闭性不一定满足
a ◦(b ◦c) =?
§5.1 半群
5.1.1 半群的定义
定义:
假设 S,* 是一个半群,aS,n 是正整数,则
n n
a 表示 n 个 a 的计算结果,即
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