山东大学离散数学课件第5章群理论.pdf

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群理论 Group theory 山东大学《离散数学》 内容回顾: 1、代数系统A,* 2、7种性质:封闭性,交换律,结合律,分配律, 消去律,吸收律,等幂律; 3、4个特出元素:单位元,逆元,零元,幂等律; 4、满同态映射下两个系统之间具有“6类保持”. 代数系统 A,* 半群 群,环,域 含幺半群 格与布尔代数 群(环,域) Chapter 5 群 Group theory §5.1 半群 5.1.1 半群的定义 定义: 设 S,* 是一个代数系统,如果 * 运算满足 结合律,则称 S,* 是一个半群。 举例:N,+,N,  ,Z,+, Z,  ,R,+,半群 N,-,N,  ,Z,-,不能构成半群,运算不满足结合律 §5.1 半群  M (R),  M (R) 举例: ,n是大于等于1的正整数。 实系数方阵 n n  M (R),  举例: ,n是大于等于1的正整数。 n 举例:P(S),,S非空集合,是集合的对称差。P(S) 幂集 A A A A 所有函数 举例: , ,A非空集合, 是函数的复合运算。 以上系统都可以组成半群。 §5.1 半群 例:假设S={a,b,c},在S上定义运算,如 运算表给出。证明S,是半群。  a b c 验证运算是可结合的。 a a b c (a  b)  c= a c=c ,a  ( b c ) = a  c= c 所以(a  b)  c= a  ( b c ) b a b c (b  a)  c=b  ( a  c ) 。。。等 c a b c 所以运算满足结合律, S,是半群 §5.1 半群 例:N, ◦,在N上定义运算◦,如下: a ◦ b=a+b+a*b,证明N, ◦ 是半群; (a ◦b) ◦c= (a ◦b) +c+ (a ◦b) *c a ◦(b◦c)= a+(b ◦c) +a *(b ◦c) =(a+b+a*b)+c+(a+b+a*b)*c =a+(b+c+b*c)+a*(b+c+b*c) =a+b+c+a*b+a*c+b*c+a*b*c =a+b+c+a*b+a*c+b*c+a*b*c 满足结合律a ◦(b ◦c)= (a ◦b) ◦c ◦定义如下:a ◦ b=a+b - a*b, 如何? 封闭性不一定满足 a ◦(b ◦c) =? §5.1 半群 5.1.1 半群的定义 定义: 假设 S,* 是一个半群,aS,n 是正整数,则 n n a 表示 n 个 a 的计算结果,即

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