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* 第3章 离散傅里叶变换 第八讲 离散傅里叶级数(DFS) 3.1 引言 3.2 周期序列的离散傅里叶级数（DFS） 3.3 离散傅里叶级数（DFS）的性质 时域 频域 连续 非周期 非周期 连续 连续 周期 非周期 离散 离散 非周期 周期 连续 离散 周期 周期 离散 3.1 傅里叶变换的几种可能形式 表3-1 四种傅里叶变换形式的归纳 周期和离散 散和周期 周期和连续 离散和非周期 非周期和离散 连续和周期 非周期和连续 连续和非周期 频率函数 时间函数 一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期 3.1 引 言 数字计算机只能计算有限长离散序列 序列的傅里叶变换和Z变换:其频谱连续且无限长 周期序列的离散傅里叶级数:其频谱离散但无限长(周期) 有限长序列的离散傅里叶变换:其频谱离散且有限长(一个周期) 离散傅里叶变存在有效的快速算法——快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。 2.2 周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 设 是一个周期为N的周期序列， 即 r为任意整数 周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，但可以用离散傅里叶级数来表示为:频率是周期序列 的基频（2π/N）的整数倍的的复指数序列（正弦型序列）之和。 k, r为整数。 复指数序列： 是k次谐波的系数 系数 的求解： r=mN, m为整数 其他r 把r换成k可得 乘以 ，然后从n=0 到N-1的一个周期内求和，得 也是一个以N为周期的周期序列： 离散傅里叶级数（DFS）： DFS［·］表示离散傅里叶级数正变换，IDFS［·］表示离散傅里叶级数反变换。 只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道了。 所以，这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列值有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。 使用 表示为: 例3-1 设 为周期脉冲串 对于0≤n≤N-1， , 的DFS系数为 对于所有的k值 均相同。于是 例3-2 已知周期序列 如图3-2所示，其周期N=10, 试求解它的傅里叶级数系数 。 周期序列 可看成是对 的第一个周期x(n)作Z变换，然后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角2π/N采样而得到的。令 0≤n≤N-1 其他n 通常称x(n)为 的主值区序列，则x(n)的Z变换为 可以看出，当0≤k≤N-1 时， 是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变化， 的值呈周期变化。 由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换，所以周期序列 也可以解释为 的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间隔采样。 因为 这相当于以2π/N的频率间隔对傅里叶变换进行采样。 例3-3 举例说明傅里叶级数系数 和周期信号 的一个周期的傅里叶变换之间的关系，在序列 的一个周期中： 0≤n≤4 其他 则 的一个周期的傅里叶变换是 可以证明，若将ω=2πk/10 代入上式即 * 第3章 离散傅里叶变换