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复数的概念及其几何意义
授课教师:
半角公式
半角公式
半角公式的应用
1.掌握复数的有关概念,如虚数单位、实部、
虚部、虚数、纯虚数;正确对复数进行分类,
掌握数集之间的从属关系;(重点)
2.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模、共轭复
数的概念;(重点)
3.掌握复数的代数表示及其几何意义.(难点)
复数的概念
复数的概念
形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作复数,
通常用字母z表示,即z=a+bi (a,b∈R),其
a称为复数z的实部,记作Re z,b称为复数z的
虚部,记作Im z.
对于复数a+bi ,当且仅当b=0时,它是实
数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,
叫作虚数;当a=0且b≠0叫作纯虚数.
复数的概念
例如,3+4i是复数,实部是3,虚部是4;
虚数-0.5i的实部是0,虚部是-0.5;3可以看作
实部是3,虚部是0的复数.
复数的概念
根据复数中a,b 的取值不同,复数可以
有以下的分类:
复数的概念
复数a+bi (a,b∈R)
实数(b=0);
虚数(b≠0).(当a=0时为
纯虚数)
全体复数构成的集合称为复数集,记
作C,显然R C.
写出自然数集N、整数集Z、有理数集Q、
实数集R和复数集C的关系,并用Venn图表示.
复数的概念
C
R
Q
Z
N
解: (1)1-i的实部与虚部分别是1和-1,它是
虚数,但不是纯虚数;
解: (3) -7的实部与虚部分别是-7和0,
它是实数.
两个复数a+bi 与c+di (a,b,c , d∈R)相等
定义为:它们的实部相等且虚部相等,即
复数的概念
a+bi= c+di当且仅当a=c且b=d.
应当注意,两个实数可以比较大小,
但是两个复数,如果不全是实数,它们之间
就不能比较大小,只能说相等或不相等.例
如,2+i和3+i之间无大小可言.
例2:设x,y∈R,(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i,
求x,y的值.
解: 由复数相等的定义,得
x+2=-3y
-2x=y-1
解这个方程组,得
x=1
y=-1
问题提出
我们知道,实数与数轴上的点一一对
应,可以用数轴上的点来表示实数.复数
z=a+bi(a,b∈R)由实部a和虚部b两个实
数确定,复数有什么几何意义呢?
复数的几何意义
分析理解
任何一个复数z=a+bi(a,b∈R),都
可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.
因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系
中的点(a,b)一一对应,所以复数集与平
面直角坐标系中的点集是一一对应的.
复数的几何意义
分析理解
如图,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,
复数z=a+bi(a,b∈ R)可以用点Z(a,b)表
示.这个通过建立平面直角坐标系来表示
复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,
y轴称为虚轴.
复数的几何意义
分析理解
显然,实轴的点都表示实数;除了
原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
复数的几何意义
分析理解
因此,复数z=a+bi与复平面内的点
Z(a,b)是一一对应的,即
复数的几何意义
复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b)
这是复数的一种几何意义.
一一对应
例如,复平面内的原点(0,0)表示复
数0,实轴上的点(3,0)表示复数3,虚轴
上的(0,-1)表示复数-i,点(-3,2)表示复
数-3+2i等.
复数的几何意义
在平面直角坐标系中,平面向量与有
序实数对一一对应,而有序实数对与复
数也是一一对应的.于是,还可以用平面
向量来表示复数.
复数的几何意义
复数的几何意义
一一对应
这是复数的另一种几何意义.
复数的几何意义
虽然两个复数一般不能比较大小,
但它们的模是非负实数,可以比较大小.
复数的几何意义
例3:在复平面内,表示下列复数的点Z
的集合是什么图形?
(1)|z|=2; (2) 2≤|z|≤3.
例3:在复平面内,表示下列复数的点Z
的集合是什么图形?
(1)|z|=2; (2) 2≤|z|≤3.
解: (2)不等式2≤|z|≤3可以化为不等式组
|z|≤3,
|z|≥2.
例3:在复平面内,表示下列复数的点Z
的集合是什么图形?
(1)|z|=2; (2) 2≤|z|≤3.
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