5.1复数的概念及其几何意义 精美课件 高中数学新北师大版必修第二册.pptxVIP

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复数的概念及其几何意义 授课教师: 半角公式 半角公式 半角公式的应用 1.掌握复数的有关概念,如虚数单位、实部、 虚部、虚数、纯虚数;正确对复数进行分类, 掌握数集之间的从属关系;(重点) 2.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模、共轭复 数的概念;(重点) 3.掌握复数的代数表示及其几何意义.(难点) 复数的概念 复数的概念 形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作复数, 通常用字母z表示,即z=a+bi (a,b∈R),其 a称为复数z的实部,记作Re z,b称为复数z的 虚部,记作Im z. 对于复数a+bi ,当且仅当b=0时,它是实 数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时, 叫作虚数;当a=0且b≠0叫作纯虚数. 复数的概念 例如,3+4i是复数,实部是3,虚部是4; 虚数-0.5i的实部是0,虚部是-0.5;3可以看作 实部是3,虚部是0的复数. 复数的概念 根据复数中a,b 的取值不同,复数可以 有以下的分类: 复数的概念 复数a+bi (a,b∈R) 实数(b=0); 虚数(b≠0).(当a=0时为 纯虚数) 全体复数构成的集合称为复数集,记 作C,显然R C. 写出自然数集N、整数集Z、有理数集Q、 实数集R和复数集C的关系,并用Venn图表示. 复数的概念 C R Q Z N 解: (1)1-i的实部与虚部分别是1和-1,它是 虚数,但不是纯虚数; 解: (3) -7的实部与虚部分别是-7和0, 它是实数. 两个复数a+bi 与c+di (a,b,c , d∈R)相等 定义为:它们的实部相等且虚部相等,即 复数的概念 a+bi= c+di当且仅当a=c且b=d. 应当注意,两个实数可以比较大小, 但是两个复数,如果不全是实数,它们之间 就不能比较大小,只能说相等或不相等.例 如,2+i和3+i之间无大小可言. 例2:设x,y∈R,(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i, 求x,y的值. 解: 由复数相等的定义,得 x+2=-3y -2x=y-1 解这个方程组,得 x=1 y=-1 问题提出 我们知道,实数与数轴上的点一一对 应,可以用数轴上的点来表示实数.复数 z=a+bi(a,b∈R)由实部a和虚部b两个实 数确定,复数有什么几何意义呢? 复数的几何意义 分析理解 任何一个复数z=a+bi(a,b∈R),都 可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定. 因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系 中的点(a,b)一一对应,所以复数集与平 面直角坐标系中的点集是一一对应的. 复数的几何意义 分析理解 如图,点Z的横坐标是a,纵坐标是b, 复数z=a+bi(a,b∈ R)可以用点Z(a,b)表 示.这个通过建立平面直角坐标系来表示 复数的平面称为复平面,x轴称为实轴, y轴称为虚轴. 复数的几何意义 分析理解 显然,实轴的点都表示实数;除了 原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数的几何意义 分析理解 因此,复数z=a+bi与复平面内的点 Z(a,b)是一一对应的,即 复数的几何意义 复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b) 这是复数的一种几何意义. 一一对应 例如,复平面内的原点(0,0)表示复 数0,实轴上的点(3,0)表示复数3,虚轴 上的(0,-1)表示复数-i,点(-3,2)表示复 数-3+2i等. 复数的几何意义 在平面直角坐标系中,平面向量与有 序实数对一一对应,而有序实数对与复 数也是一一对应的.于是,还可以用平面 向量来表示复数. 复数的几何意义 复数的几何意义 一一对应 这是复数的另一种几何意义. 复数的几何意义 虽然两个复数一般不能比较大小, 但它们的模是非负实数,可以比较大小. 复数的几何意义 例3:在复平面内,表示下列复数的点Z 的集合是什么图形? (1)|z|=2; (2) 2≤|z|≤3. 例3:在复平面内,表示下列复数的点Z 的集合是什么图形? (1)|z|=2; (2) 2≤|z|≤3. 解: (2)不等式2≤|z|≤3可以化为不等式组 |z|≤3, |z|≥2. 例3:在复平面内,表示下列复数的点Z 的集合是什么图形? (1)|z|=2; (2) 2≤|z|≤3.

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