工程振动与测试技术课件-第七章振动问题的有限元法.ppt

工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 如果用集中质量矩阵，则只要将单元的质量一分为三，集中作用在三个节点上，即 对角矩阵。得到的频率比实际频率偏低。 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 在有限元法中，所用的坐标系是局部坐标系，由于单元在空间的局部坐标系不同。但描述整个结构的运动，需要选择一个统一的坐标系，称为总体坐标系。在分析计算时，必须将单元特征的各个方程通过方向余弦矩阵转换到总体坐标系中。 设 为总体坐标系，x，y，z为局部坐标系，其方向余弦矩阵为 7.4 坐标转换 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 式 中表示轴x与 轴之间夹角的余弦等等。 则有 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 将以上两位移分量式合并，可写成 同样位移矢量间也适用此交换关系。对于平面二维系统单元 除了某些单元在空间具有相同的方位，即其局部坐标系是平行的情况外，不同单元的矩阵L是不同的。由于l表示两个正交轴系间的一种变换，所以矩阵L是正交的，即 。 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 特例：在平面结构的特殊情况下，所有各单元的局部坐标系中，都有一根坐标z轴与总体坐标系的一根z轴平行。单元体上任意一点M的局部坐标在总体坐标系中的关系为 写为矩阵形式 称为方向余弦矩阵。 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 于是可得到在总体坐标系中的该单元的运动方程式 有了变换矩阵之后，可以将单元的质量矩阵、刚度矩阵等换算至总体坐标系中，即 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 由单元载荷Feq按其相应的贡献叠加，可的节点载荷矢量F。于是整个结构的运动方程式为 并将用总体坐标系的单元质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，按其相应的贡献叠加到总质量矩阵、总阻尼矩阵、总刚度矩阵中。 为书写方便，将总体坐标系的运动方程式中的矩阵上的横线省略。 总质量矩阵、总阻尼矩阵、总刚度矩阵为 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 例7.1 试用有限元法列出图示的简支梁的弯曲自由振动方程式。已知梁长为L，抗弯截面模量为EI，单位长度的质量为m 。 解: 将梁离散分为二个单元，单元长l=L/2，现取其中一个单元研究，并确定形函数N及应变与位移的关系矩阵 B。 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 单元节点位移矢量 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 由于单元有四个端点位移，所以有四个待定常数a1、a2、a3、a4。写成矩阵形式为 现假设单元中的点的位移函数为多项式 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 由边界条件 时 得 时 即 写为矩阵形式 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 由此解出四个待定常数为 得到 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 即 其中 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 于是有 应变与位移的关系矩阵B 梁的应变 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 应变与应力的关系为?=E?，即D = E，可求得单元刚度矩阵Keq。 注意到 单元刚度矩阵为 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 单元质量矩阵为 积分得 工 程 振 动 与 测 试 Theory of Vibration 求结构的总刚度矩阵和总质量矩阵。 单元编码 单元编码如图示，取统一