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音乐背后的数学 音乐背后的数学 PAGE/NUMPAGES 音乐背后的数学 音乐背后的数学 音背后的数学 数学家莱布尼〔Leibniz，1646-1716〕:“音是一种藏的算，透潜意的心灵跟数量在打交道。〞 近代作曲家斯特拉文斯基(Stravinsky，1882-1971)：“音的形式近于数学而不是文学，音确很像数学思想与 数学关系。〞他特地将“像数学思想的西〞溶入他的音作品之中。 音何动听、和、美呢？能否出一些道理？野外中昆虫啁啾的叫，枝儿洪亮的喊声，?牧笛?美听的旋律，多芬令人振的交响曲??当沉醉在些美好的音中,你能否想到了它与数学有着亲密的系？ 人数学与音之系的研究和，能够源流。相信音的背后有数学律可循，而且努力去追出乐律，在史上最早且最有名的当推达哥拉斯学派〔公元前5-6世〕。而中国古代的“三分益法〞就是通数学运算研究乐律的方法。人常用的也是数学在音上用得最著的地方之一。 一乐律背后的比率和分数乘法 音的上下由弦振的率决定。怎样定出乐律，即定出音： 的率比？是音的根本。 第1页 1．毕达哥拉斯琴弦律 毕达哥拉斯发现乐律有一段漂亮的故事。有一天毕达哥拉斯 有时经过一家打铁店门口，被铁锤打铁的有节奏的动听声音 所吸引〔笔者在家乡小城镇曾见解过打铁店，此刻已不常见 了〕。他感觉很诧异，于是走入店中察看研究，拜见图1。他 发现有四个铁锤的重量比恰为12：9：8：6，将两个两个一 组来敲打都发出和睦的声音，分别是：12:6=2:1的一组， 12:8=9:6=3:2的一组，12:9=8:6=4:3的一组。毕达哥拉斯 进一步用单弦琴做实验加以考证，拜见图2。对于固定张力的弦，利用可自由滑动的琴马来调理弦的长度，一面弹，一 面听。毕达哥拉斯经过频频的试验，终于初步发现了音乐的神秘，归纳出毕达哥拉斯的琴弦律： 1〕当两个音的弦长成为简单整数比时，同时或连续弹奏，所发出的声音是和睦动听的； 2〕两音弦长之比为4:3，3:2及2:1时，是和睦的，而且音程分别为四度、五度及八度。 也就是说，假如两根绷得同样紧的弦的长度之比是2:1,同时 或连续弹奏，就会发出相差八度的谐音;而假如两条弦的长 度的比是3:2时,就会发出另一种谐音，短弦发出的音比长 弦发出的音高五度;等等。 物理学家伽利略(1564-1642)发现弦振动的频次跟弦长成反比。所以，我们能够将毕达哥拉斯所采纳的“弦长〞改为 第2页 “频次〞来定一个音的上下。进而毕达哥拉斯的发现就是：两音的频次比为1:2，2:3及3:4时，分别相差八度、五度及四度音。比如，频次为200与300的两音恰巧相差五度音。 图1 图2单弦琴 毕达哥拉斯乐律是弦长的简单整数比。声音透过一些简单而固定的比率，形成令人愉悦 的和睦音乐，这就是一种特其他数学表现。不单这样，和睦的比率还贯串于整个艺术、大自然和人生之中。毕达哥拉斯的门徒们相信星球距离地球也成简单整数比，它们绕地球运 行时会发出美好的球体音乐。开普勒〔1571-1630〕从音乐 长远为人所敬爱的奇特比率中，发现天上行星运转的规那么： 从太阳的地点察看，土星在近期点时，是以每日135秒速度 挪动一个弧度距离，在远日点那么只要106秒，这两个数字之 比约为5：4，恰等于产生大三度音程的两根弦的振动比率；而木星会产生一个小三度音程；火星那么是完整五度音程。这样，每个星球仿佛都会产生一个音乐上的比率数字。博伊西斯〔475-524〕那么将和睦分为三个等级：最先级的是乐器的 音乐，包含歌唱及乐器演奏出来的音乐；其次是人类的音乐，讲究身体与灵魂的调解、均衡与合适的比率；最完满的调解 是世界的音乐，包含行星的有条不紊之运转、元素的合适比率混淆、四时的循环以及大自然、宇宙的和睦。 第3页 2、“三分损益法〞定音阶 定音阶的频次比就是要在1与2之间插入六个简单整数比： ，并使此中含有四度音及五度音。 毕达哥拉斯经过单弦琴的实验，调整弦的长度成特定整数比，就可以产生所有的音阶，即毕达哥拉斯乐律的频次比方下： 事实上，毕达哥拉斯乐律能够采纳“三分损益法〞〔又叫“管子法〞〕。公元前4世纪，管子一书的地圆篇记录有此法。所谓“三分损益法〞就是交互使用了“三分损一法〞〔即去掉三分之一的长〕以及“三分益一法〞〔马上所剩在 增添三分之一的长〕。即为：由一个音出发，其频次为1，“三分损一法〞就是1乘以〔长度之比的倒数〕，“三分益一法〞就是将乘以，这样交相互生，获得 由小排到大就获得所谓的“五声音阶〞 再补上 及第四音就获得毕达哥拉斯音阶(或叫七音音阶)： 二曲谱上的分数 在曲谱中,我们能够找到拍号、纯真音符、附点音符等，莫不与分数息息有关。谱写乐曲要使音符合适于每音节的拍子 数,这实质是分数乞降的过程——在一个固定的拍子里,不一样时价的音符一定使它凑成一个特定的节拍。 第4页 在每一首乐曲的