专题32 函数的基本性质解析版.docx

专题3.2 函数的基本性质 1．函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反； （3）函数在公共定义域内与，的单调性相反； （4）函数在公共定义域内与的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性：①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 2．函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得 （3）对于任意的，都有； （4）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 3．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 4．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数． 一、单选题 1．函数，，则 A．函数有最小值，最大值 B．函数有最小值，最大值 C．函数有最小值，最大值 D．函数有最小值，最大值 【试题】安徽省滁州中2020-2021年高三上期10月综合能力测试（文） 【答案】A 【分析】求出二次函数的对称轴，判断在区间上的单调性，进而可得最值． 【解析】对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以函数有最小值，最大值，故选A． 2．定义在[－7，7]上的偶函数f(x)在[0，7]上的图象如下图，下列说法正确的是 A．f(x)仅有一个单调增区间 B．f(x)有两个单调减区间 C．f(x)在其定义域内的最小值是－7 D．f(x)在其定义域内的最大值是7 【试题】宁夏中卫市第一中2021-2022年高一上期第一次月考数（A卷）试题 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质，单调性的性质，最值的定义分析判断即可 【解析】对于AB，由于函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以由图象可知函数f(x)有3个增区间，3个减区间，所以AB错误， 对于C，由图象可知函数的最小值小于，但不等于，所以C错误， 对于D，由图象可知函数图象的最高点的纵坐标为7，所以f(x)在其定义域内的最大值是7，所以D正确，故选D 3．若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) f(－m)，则实数m的取值范围是 A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 【试题】宁夏中卫市第一中2021-2022年高一上期第一次月考数（B卷）试题 【答案】D 【分析】直接利用函数的单调性解不等式即可 【解析】因为函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) f(－m)， 所以，得，所以实数m的取值范围是(－∞，1)，故选D 4．已知上函数 ，则“”是“函数为奇函数”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【试题】黑龙江省大庆中20201-2022年高三上期第一次月考（文） 【答案】B 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得正确的选项． 【解析】取，则，但，所以函数不是奇函数；故“”推不出“函数为奇函数”，若函数为奇函数，则即，故“函数为奇函数”能推出“”．故选B． 5．函数在下列区间上是减函数的是 A． B． C． D． 【试题】人教B版（2019） 必修第一册 习帮手 第三章 （第一课时） 【答案】B 【分析】求出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质判断四个选项的正误即可得正确选项．