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第二讲 频率与概率
主讲人：苏明
(一) 频率
nA : 事件A 在n 次试验中出现的次数,称A 在n 试验
中出现的频数.
n
事件A 在n 次试验中出现的频率: f n (A ) A
n
频率的性质:
(1) 0 f n (A) 1 ;
(2) f n (S ) 1 ;
(3) 若A 与B 互不相容,
f n (A B) f n (A) f n (B)
例 掷一枚均匀的硬币,事件A 表示 “正面朝上”,
在n 次试验中事件A 的频数nA
试验者 试验次数 频 数 频 率
迪摩根 2048 1061 0.5181
蒲 丰 4040 2048 0.5069
费 勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维 尼 30000 14994 0.4998
频率f n (A) 在常数p 附近摆动,随着n 的不断增大,
稳定于常数值p , 这性质称为频率的稳定性.
用这个数值p 来衡量事件A 发生可能性的大小,
称为事件A 的概率,记作 P (A) p .
(二) 概率
定义 试验 E 的样本空间为S ,对于试验E 的每个事
件A 赋予一个实数 P (A) 与之对应,
如集合函数P ( · )具有如下性质:
1. (非负性) 任事件A , P (A) 0;
2. (规范性) 必然事件S, P (S ) 1;
3. (可列可加性) 对于任何互不相容事件序列
A , A , , A , , A A (i j ; i,j 1,2,3, )
1 2 n i j
P (A1 A2 An )
P (A ) P (A ) P (A )
1 2 n
则称P(A) 为事件A 的概率.
注: (1) 概率是客观存在的,是惟一确定的值;
(2) 在相当广泛的条件下, 当n 时,
频率在一定意义下接近概率(大数定律);
(3) 通常用频率或一系列频率的平均结果作为P(A)
的近似值;
1930 —1988年,53274场重大足球比赛中,
判罚了15382个点球,有11172个射中, 频率为0.726.
(4) 已知概率,就可以以一定的可靠性来预测事件
A在将要进行的试验中
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