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大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: * a a n =f(n) ;? * a a n1 =f(a n ) (2)初等函数:? (3)分段函数:? * F F(x)={ f 1 (x) f 2 (x) , x≤x 0 xx 0 ;? * F F(x)={ f(x) a , x  =x 0 x=x 0 ;* (4)复合(含 f f )函数:? y y=f(u),u=?(x) (5)隐式(方程):? F F(x,y)=0 (6)参式(数一,二):? { { x=x(t) y=y(t) (7)变限积分函数:? F F(x)=∫ a x f(x,t)dt (8)级数和函数(数一,三):? S S(x)= n=0 ∑ ∞ a n x n ,x∈Ω 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); ( f f(x) 单调 ? ??x 0 ,(x?x 0 )(f(x)?f(x 0 )) 定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: y y=f(x)?x=f ?1 (y)?y=f ?1 (x) 二. 极限性质: 1. 类型: * n n→∞ lim a n ;? * x x→∞ lim f(x) (含 x x→±∞ );? * x x→x 0 lim f(x) (含 x x→x 0 ± )? 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 0 0 0 , ∞ ∞ ,1 ∞ ,∞?∞,0?∞,0 0 ,∞ 0 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: n n n 1 →1 ,? a a n 1 (a0)→1 , ? ( (a n b n c n ) n 1 →max(a,b,c) ,? a n! a n ( a0 )→0 1 x 1 (x→0)→∞ ,? ? x x→0 lim x x =1 ,? ? x x→∞ lim e x x n =0 , ? ? x x→∞ lim x ln n x =0 , x x→0 lim xln n x=0 ,? ? ? e e x →{ 0 ∞ , x→?∞ x→∞ 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当 u u(x)→0 时, sin sinu(x)～u(x) ;? ? ? ? ? tan tanu(x)～u(x) ; ? ? ? ? 1 1?cosu(x)～ 2 1 u 2 (x) ; e e u(x) ?1～u(x) ; ? ? ? ? ? l ln(1u(x))～u(x) ;? ? ? ( (1u(x)) α ?1～αu(x) ; arcsin arcsinu(x)～u(x) ;? ? ? ? arctan arctanu(x)～u(x) ? 2. 泰勒公式: (1) e e x =1x 2! 1 x 2 o(x 2 ) ;? ? ? ? ? ? (2) l ln(1x)=x? 2 1 x 2 o(x 2 ) ; (3) sin sinx=x? 3! 1 x 3 o(x 4 ) ;? ? ? ? ? ? ? (4) cos cosx=1? 2! 1 x 2 4! 1 x 4 o(x 5 ) ; (5) ( (1x) α =1αx 2! α(α?1) x 2 o(x 2 ) . 五. 常规方法: 前提: (1)准确判断 0 0 0 , ∞ ∞ ,1 ∞ ,αM (其它如: ∞ ∞?∞,0?∞,0 0 ,∞ 0 );? (2)变量代换(如: 1 x 1 =t ) 1. 抓大弃小 ( ( ∞ ∞ ) , 2. 无穷小与有界量乘积 ( α α?M )? (注: ∣ ∣ ∣ ∣ sin x 1 ∣ ∣ ∣ ≤1,x→∞ ) 3. 1 1 ∞ 处理(其它如: 0 0 0 ,∞ 0 ) 4. 左右极限(包括 x x→±∞ ): (1) 1 x 1 (x→0) ; ? (2) e e x (x→∞) ;? e e x 1 (x→0) ;? (3)分段函数: ∣