求数列前N项和的七种方法(含例题和).doc

求数列前N项和的七种方法(含例题和) 求数列前N项和的七种方法(含例题和) 求数列前N项和的七种方法(含例题和) . 求数列前N项和的七种方法 点拨: 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列乞降，或转变成基本数列乞降。当碰到详细问题时，要注意观察数列的特色和规律，找到合适的方法解题。 公式法 等差数列前n项和： n(a1 an) n(n 1) Sn na1 d 2 2 特其余，目前n项的个数为奇数时，S2k1 (2k1)gak1，即前n项和为中间项乘以项数。 这个公式在好多时候能够简化运算。 等比数列前n项和： q=1时，Sn na1 a1 qn q1，S 1 ，特别要注意对公比的谈论。 n 1 q 其余公式： n 1、Sn k1  1n(n1)2、Sn n 1n(n1)(2n1) k k2 2 k1 6 n [1n(n1)]2 3、Sn k3 k1 2 [例1] 已知log3 x 1 ，求x x2 x3 xn 的前n项和. log23 解：由log3 x 1 log3 x log32 x 1 2 log23 由等比数列乞降公式得 Sn xx2 x3 xn （利 用常用公式） Word资料 . 1 (1 1 )11 x(1 xn)2 2n 1 x 1 1 2n 2 [2] * Sn . Sn1+2+3++nnN,f(n) (n32)Sn 1 Sn 1 ( 1) Sn1 1( n 1)( n 2)（利 2 nn 2 用常用公式） f(n) Sn n 2 34n 64 (n 32)Sn1n 1 1 1 64 8 50 n (n ) 2 50 34 n n 8 n8f(n)max 1 n 50 n 错位相减法 n {an·bn}n{an}{bn}. [3] Sn 13x 5x2 7x3 (2n 1)xn 1 {(2n 1)xn 1 } {2n1} {xn1 } xSn 1x3x2 5x3 7x4 (2n 1)xn . (1x)Sn12x2x2 2x3 2x4 2xn1 (2n1)xn （错位相减 (1x)Sn 1 2x 1 xn 1 1)x n 1 x (2n Sn (2n 1)xn1 (2n 1)xn (1 x) (1 x)2 [4] 2,42,63, ,2nn, n. 2 2 2 2 Word资料 . 2n 1 { 2n} {2n}{ 2n } Sn 2 4 6 2n 2 22 23 2n 1 Sn 2 4 6 2n 2 22 23 24 2n1 （设制错位） (1 1 2 2 2 2 2 2n )Sn 222 23 24 2n 2n1 2 （错位相减 1 2n 2 2n1 2n 1 Sn n 2 4 2n 1 2 n-1 S=1+5x+9x+·+(4n-3)x n n 2 n-1 ① 解：S=1+5x+9x+·+(4n-3)x ①两边同乘以x，得 2 3 n ② xS=x+5x+9x+·+(4n-3)x n -②得，（1-x）Sn=1+4（x+x2+x3+·+xn）-（4n-3）xn当x=1时，Sn=1+5+9+·+（4n-3）=2n2-n 当x≠1时，Sn=11-x[4x(1-xn)1-x+1-（4n-3）xn] 反序相加法乞降 n n(a1an). [5]sin21sin22sin23sin288sin289 Ssin21sin22sin23sin288sin289. Ssin289sin288sin23sin22sin21.. （反序） sinxcos(90x),sin2xcos2x1 + （反序相加） 2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)89 S44.5 Word资料 . 分组法乞降 有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列， 若将这种数列合适打开， 可分为几个 等差、等比或常有的数列，而后分别乞降，再将其归并即可 . [例6] 求数列的前n项和：1 1,1 4,1 7, ,1 3n 2， a a2 an 1 Sn (1 1) 1 4) 1 7) 1 3n 2) 解：设 (a (a2 (an1 将其每一项打开再从头组合得 Sn (1 1 1 1 ) (1 4 7 3n 2) a a2 an 1 （分组） 当a＝1时，Sn n (3n 1)n (3n 1)n （分 2 ＝ 2 组乞降） 1 1 (3n1)n a a1n 当a an 1时，Sn 1 2 ＝ 1 1 a a [例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. ( k 1)(21) 2 k 3 32 k 解：设akk k k n n ∴Sn k(k1)(2k1)＝(2k3 3k2 k) k1 k1 将其每一项打开再从头组合得 Sn＝ （分组