西安交通大学《高等数学A1》2021-2022学年第一学期期末试卷A卷.docxVIP

第 第 PAGE 1 页（共 6 页） 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 考试中心填写： 年 月 日 考 试 用 题 号1-23-56-89-1112-1314总分应得分12181824208100实得分评卷人 题 号 1-2 3-5 6-8 9-11 12-13 14 总分 应得分 12 18 18 24 20 8 100 实得分 评卷人 _ 一、计算题 I（每小题 6 分，共 48 分） 专业班级：求下列函数的极限： 专业班级： ?（1） lim? ? x ?x ?  （2） ? ex 1 ? lim? ? ? x x 装订线（答题不得超过此线）x??? 1? x ? 装订线（答题不得超过此线） x?0 ? x e ?1? 姓名：学号：求函数 f (x) ? sin x ? x 姓名： 学号： sin x  的所有间断点，并指出各间断点的类型。 ? x ? et sin t ?设? y ? et cos t 确定的函数为 y ? ? f (x) ，求 dy 以及 y ? dx f (x) 在t ? ?时的切线方程。 3 求函数 y ? e ? 1 x2 2  的拐点和凹凸区间. ? ? ?设函数 f (x) ? ? ? ? 1 e x ? 1, a , 1  x ? 0 x ? 0 x ? 0  。试确定a, b 的值，使得 f (x) 在 x ? 0 处连续。 ??b ? arctan x , ? 求下列不定积分和定积分 (1)  e2x cos xdx  (2) 1 ? x ? 1 ? ? ?1 1 ? x 2 ?? ??1 ? x 2 ? 2 ? ?dx ? 设抛物线 y 2 ? 2x ，计算该抛物线在点? 1 , 1? 处的法线方程，以及该法线与该抛物线所围图 ? ? 装订线（题目不得超过此线）? 2 ? 装订线（题目不得超过此线） 形的面积。 2 计算曲线 y ? ? x ? 3 在区间段0 ? x ? 2 的弧长。 ? ? ? 2 ? 二、计算题II（每小题 8 分，共 32 分） y  dy d 2 y 设隐函数方程 y ? 1? xe 确定的函数为 y ? f (x) ,求 和 dx 。 dx2 10. 求解初值问题： y? ? y ? sin 2x ? 0, y(?) ? y?(?) ? 1 。 x11. 设 f (x) 在[0,??) 上可微,且 f (x) ? 1? ?0 x f (t)dt ? sin x ,求 f (x) 。 求 f (x) ? xex 的n 阶麦克劳林公式,并估计 f ?? 1 ? 的值，使得误差小于0.001 。 ? ? ? 2 ? 装订线（题目不得超过此线）三、综合题（第 13 小题 12 分，第 14 小题 8 分，共 20 分） 装订线（题目不得超过此线） 设 D 是由抛物线 y ? 2x2 和直线 x ? a, x ? 2 以及 y ? 0 所围成的平面区域。 D 是由抛物线 1 2 y ? 2x2 和直线 x ? a 以及 y ? 0 所围成的平面区域，其中0 ? a ? 2 。 求 D1 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积V1 。 求 D2 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积V2 。 试问当a 取何值时，V1 ?V2 取最大值？并求该最大值。 已知 f (x) 具有连续的导函数，且满足 a ? f (x) ? b ， max | f ?(x) |? 1 a? x?b 证明存在唯一的 x* ? (a, b) 使得 f (x* ) ? x* ； 对于任意的 x0 ?[a, b]，证明由 x  n?1 ? 1 ? f (x 2 n ) ? xn ?产生的序列?xn ?收敛于(1)中的点 x* 。