中南大学《线性代数》2021-2022学年第一学期期末试卷.docxVIP

中南大学期末考试试卷 2021-2022-1 《线性代数》课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷 总分：100 分 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） ??1 0? 1、设 f (x) ? x2 ? 3 ，矩阵 A ? ? 4 3 ? ，则 f ( A) = . ? ? 2、设A, B 为n 阶矩阵，如果有n 阶可逆矩阵 P ，使 成立，则称A 与 B 相似． 3、n 元非齐次线性方程组 A m?n x ? b 有唯一解的充分必要条件是 . 4、已知二次型 f ?x , x , x ?? 5x 2 ? 5x 2 ? 3x 2  2x x ? 6x x ? 6x x ，则二次型 f 对应 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 的矩阵 A = . 5、设 4 阶方阵 A 满足： A ? 0,3E ? A ? 0, AAT ? 2E (其中 E 是单位矩阵)，则 A 的伴随矩阵 A*必有一个特征值为 . 二、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1、已知 4 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A *，且 A 的行列式A =3，则A *=（ ）. （A）81. （B）27. （C）12. （D）9. 2、设A 、B 都是n 阶方阵，且A 与 B 有相同的特征值，并且A 、B 都有n 个线性无关的特征向量，则（ ）。 （A） A 与 B 相似. （B） A = B . （C） A ? B ，但| A ? B |? 0 .（D） A 与 B 不一定相似，但| A |?| B |. 3、设n 阶方阵 A 为正定矩阵，下面结论不正确的是（ ）. A 可逆. （C）| A |? 0 . A?1 也是正定矩阵. （D） A 的所有元素全为正. 4、若n 阶实方阵 A ? A2 ， E 为n 阶单位阵，则（ ）. （A） R( A) ? R( A ? E) ? n . （B） R( A) ? R( A ? E) ? n . （C） R( A) ? R( A ? E) ? n . （D）无法比较 R( A) ? R( A ? E)与n 的大小. ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ?1? 5、设? ? ? 0 ?，? ? ? 1 ?，? ? ? ?1?，? ? ? 1 ?，其中 c , c , c , c 为任意常数， 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ?  1 2 3 4 ??? c ? ? c ? ? c ? ? c ? ? ? 1234? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 则下列向量组线性相关的为（ ）. （A）? ，? ，? . 1 2 3 （B）? ，? ，? . 1 2 4 （C）? ，? ，? . 1 3 4 （D）? ，? ，? . 2 3 4 三（本题满分 10 分） x a a x n计算n（ n ? 2 ）阶行列式 D ? n a a  a a ，D n x  的主对角线上的元素都为 x ，其余位置元素都为a ，且 x ? a . 四（本题满分 10 分） 设 3 阶矩阵 A, B 满足关系： A?1BA ? 6A ? BA, 五（本题满分 10 分）  ? 1 2? 2 ? ?且A ? ? 0 ? ? ? 0 ?  ? 00 ? 0 ? ?1 0 ? ,求矩阵 B . ? 4 1 ? 70 ? 7 ? 设方阵 A 满足 A2 ? A ? 2E ? 0 (其中 E 是单位矩阵)，求 A?1 ,( A ? 2E)?1 . 六（本题满分 12 分）  ? 1 ? ? 2 ? ? 1 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ?1? ? ?5 ? ? ?6 ? 已知向量组 A ：? 1 ? ? ?，? ? 1 ? 2 ? ? ? ，? ? ?3? 3 ? ? ? ，? ? ?4 ? 4 ? ? ?， ? ?7 ? ? 2 ? ? 1 ? ? ?1? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求向量组 A 的秩； 求向量组 A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示. 七（本题满分 14 分） ? 1 ? ?设矩阵 A ? ?? 1 ? 1 ? ?0 0 0? ? ? ?? ? 与矩阵 B ? ?0 1 ? ? ? ?? 1 ? 1 ?? ??0 0 2?? （1）求?, ? ； （2）求正交矩阵 P ,使 P?1 AP ? B . 八（本题满分 14 分） 设有线性方程组为  ? x ? a x  a 2 x  ? a 3 x?x? 1 ? a 1 2 x ? x 1 3 a 2 x 1 ? a 3 ? 1 2 2 2 3 2 ? x ? a x ? a 2 x ? a 3 ? 1 3