初一奥数第4讲相交线、平行线.doc

(圆满word版)初一奥数第4讲订交线、平行线 (圆满word版)初一奥数第4讲订交线、平行线 PAGE/NUMPAGES (圆满word版)初一奥数第4讲订交线、平行线 初一数学比赛系列讲座(4) 订交线、平行线 一、知识重点： 1．平面上两条不重合的直线，地点关系只有两种：订交和平行。 2．两条不一样样的直线，若它们只有一个公共点，就说它们订交。即，两条直线订交有且只有一个交点。 3．垂直是订交的特别情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论： 1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 2）直线外一点与直线上全部点的连线中，垂线段最短。 4．在同一平面内，不订交的两条直线称为平行线。平行线中要理解平行公义，能娴熟地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判判断理和性质定理。 5．利用平行公义及其推论证明或求解。 二、例题精讲 例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。 解：∵ a∥b， l ∴ ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） 3 a ∵ ∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义) 4 ∴ ∠1＝∠2(等式性质) b 2 则3x+70＝5x+22解得x=24 即∠1＝142° ∴∠3＝180°-∠1＝38°图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。 例2．已知：如图(2)，AB∥EF∥CD，EG均分∠BEF，∠B+ B-∠D=24°，求∠GEF的度数。 解：∵AB∥EF∥CD ∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠B+∠BED+∠D=192°（已知） 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° 2（∠B+∠D）=192°（等量代换）则∠B+∠D=96°（等式性质） ∵∠B-∠D=24°（已知）∴∠B=60°（等式性质）即∠BEF=60°（等量代换）∵EG均分∠BEF（已知） ∴∠GEF=1∠BEF=30°（角均分线定义） 2  BED+∠D=192°， AB G EF C D 图(2) 例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。 解：过E作EF∥AB AB∥CD（已知）  CD EF∥CD（平行公义） ∠BEF=∠B=40°∠DEF=∠D=70°（两直线平行， 内错角相等）A ∵∠DEB=∠DEF-∠BEF ∴∠DEB=∠D-∠B=30° 评注：证明或解有关直线平行的问题时，假如不构成“三线八角”图（3）  B EF ，则应添出辅助线。 例4．已知锐角三角形ABC的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，求证：ha+hb+hc＜a+b+c 剖析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知，ha＜c，hb＜a，hc＜b以上三式相加得ha+hb+hc＜a+b+c 研究垂直关系应掌握好垂线的性质。 1．以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。 2．垂线段最短。 例5．如图（4），直线AB与CD订交于O，EFAB于求证EF与GH必订交。 剖析：欲证EF与GH订交，直接证很困难，可考虑用反证法。 证明：假设EF与GH不订交。 EF、GH是两条不一样样的直线∴EF∥GH EFAB  bc ha a F，GHCD于H， EG AD FH O C B GHAB 又因GHCD故AB∥CD(垂直于同向来线的两直线平行)图（4） 这与已知AB和CD订交矛盾。 因此EF与GH不平行，即EF与GH必订交 评注：此题应用结论： 垂直于同一条直线的两直线平行。 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线； 例6．平面上n条直线两两订交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不一样样交点？解：2条直线产生1个交点， 第3条直线与前面2条均订交，增添2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交 点； 第4条直线与前面3条均订交，增添3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个 交点； 则n条直线共有交点个数：1+2+3++(n-1)=1n(n-1) 2 评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情况，需要认真观察，由简及繁，深入思虑，从中发现规律。 例7．6个不一样样的点，此中只有3点在同一条直线上，2点确立一条直线，问能确立多少条直线？ 解：6条不一样样的直线最多确立：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条 直线，即能确立的直线为15-2=13条。 另法：3点所在的直线外的3点间最多能确立3条直线，这3点与直线上的3点最多有3× 3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条 评注：一般地，平面上n个点最多可确立直线的条数为：1+2+3++