信号处理技术课件-Z变换.pptVIP

§2-5 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系 1.理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想抽样信号， 则 序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变 换就等于理想抽样信号的拉氏变换。 2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有： 因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部Ω相对应。 =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； σ → σ σ 0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内； → 0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。 → j → 0 0 (1).r与σ的关系 Ω= 0，S平面的实轴， ω= 0，Z平面正实轴；Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线， ω= Ω0T,Z:始于 原点的射线；Ω S:宽 的水平条带， ω 整个z平面. 0 jIm[Z] Re[Z] (2).ω与Ω的关系（ω=ΩT） ω 二.Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率ω作为Z平面的单位圆的参数， ω表示Z平面的辐角，且 。 所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。 三.序列的傅氏变换 1.正变换: 2.反变换: §2-6 傅氏变换的一些对称性质 一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n) 则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。 设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则 再将-n代入，则 根据定义，则 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。 *特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。 2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点: 2.部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。 通常，X(z)可表成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式 其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为： 的z反变换。 [例2-5]利用部分分式法，求 解： 分别求出各部分分式的z反变换（可查 P54 表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。 3.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。 [例2-6] 试用长除法求  的z反变换。 解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列) *双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。 4-Z)