通信工程课件-正交编码与伪随机序列.pptVIP

M序列的性质 M序列与m序列类似，也在一定程度上具有噪声特性。它满足m序列的前两个性质，即： 在M序列的一个周期中，出现“0”与“1”的数目相等。 在n级M序列的一个周期中，游程共有2n-1个，其中长度为k的游程占1/2k，1 ? k ? n – 2；长为n的游程有两个，没有长为(n – 1)的游程。在同长的游程中，“0”游程和“1”游程各占一半。这两个性质的证明方法与m序列的一样。 但是，M序列不再具有m序列的移位相加特性及双值自相关特性。 * M序列的优点 M序列与m序列相比，最主要的优点是数量大，即同样级数n的移存器能够产生的平移不等价M序列总数比m序列的大得多，且随n的增大迅速增加。在下表中给出了级数n与可能产生的两种序列数目的比较。 M序列的数量虽然相当大，但是目前能够实际产生出来的M序列数目却还不很多。这还有待于今后继续研究。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m序列数目 1 1 2 2 6 6 18 16 48 60 M序列数目 1 1 2 16 2048 6.71088 1.44115 1.32922 2.26156 1.30935 ?107 ?1017 ?1036 ?1074 ?10151 * 二次剩余序列 定义：二次剩余又称平方剩余数，例如，32 = 9；9被7除得到的余数是2，即有 32 = 9 ? 2 (mod 7) 则称2为模7的平方剩余数。 一般说来，如果能找到一个整数x，它使 x2 ? i (mod p) 若此方程成立，我们就认为这个方程有解。满足此方程的i就是模p的二次剩余；否则，i就是模p的二次非剩余。当规定a0 = -1，且 其中p为奇数，则称{ai}为二次剩余序列，i = 0, 1, 2, ...，其周期为p。 * 例：设p = 19，容易算出 12 ? 1 (mod 19)， 22 ? 4 (mod 19)， 32 ? 9 (mod 19)， 42 ? 16 (mod 19)， 52 ? 6 (mod 19)， 62 ? 17 (mod 19)， 72 ? 11 (mod 19)， 82 ? 7 (mod 19)， 92 ? 5 (mod 19)， 102 ? 5 (mod 19)， 112 ? 7 (mod 19)， 122 ? 11 (mod 19)， 132 ? 17 (mod 19)， 142 ? 6 (mod 19)， 152 ? 16 (mod 19)， 162 ? 9 (mod 19)， 172 ? 4 (mod 19)， 182 ? 1 (mod 19)。 因此，1、4、5、6、7、9、11、16、17是模19的二次剩余；而2、3、8、10、12、13、14、15、18是模19的非二次剩余。 * 【定理12.4】一个n级移存器的特征多项式f (x)若为既约的，则由其产生的序列A = { ak }的周期等于使f (x)能整除的(xp + 1)中最小正整数 p。 【证】若序列A 具有周期p，则有 上式移项整理后，变成 * 由定理12.1可知，h(x)的次数比f (x)的低，而且现已假定f (x)为既约的，所以上式表明(xp + 1)必定能被f (x)整除。 应当注意，此时序列A之周期p与初始状态或者说与h(x)无关。当然，这里不考虑全“0”作为初始状态。 上面证明了若序列A具有周期p，则(xp +1)必能被f (x)整除。另一方面，若f(x)能整除(xp +1)，令其商为 又因为在f (x)为既约的条件下，周期p与初始状态无关，现在考虑初始状态a－1＝a－2＝???＝a－n＋1＝0，a－n＝1，由式 可知，此时有h(x) = 1。故有 * 上式表明，序列A以p或p的某个因子为周期。若A以p的某 个因子p1为周期，p1 p，则由式 已经证明(xp1 + 1)必能被f (x)整除。 所以，序列A之周期等于使f (x)能整除的中最小正整数p。 【证毕】 * 本原多项式 定义：若一个n次多项式f(x)满足下列条件： f (x)为既约的； f (x)可整除(xm + 1