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双曲线标准方程及其性质
重点内容 1:
基础专练:
x2
y
2
1. 双曲线
的 a=______ 、 b=______ 、 c=______; 实轴长为
? ?1
9 16
______、虚轴长为______、焦点坐标______、离心率为______、渐近
线方程为___________。
y x
2
2. 双曲线
2
,实半轴长为_____、虚半轴长为______、焦距为
? ?1
25 16
______、离心率为______、渐近线方程为____________。
3. 已知
,双曲线上的动点 到
距离之差为 6,则双
,F
F (?5,0), F (5,0)
F
1
P
1
2
2
曲线的方程为:
3
4.双曲线的渐近线为
,则离心率为
y ? ? x
2
5.已知双曲线的渐近线方程是
此双曲线的方程为
,焦点在 x 轴上且焦距是 10,则
;
x
y ? ?
2
x
2
y
P
6.(烟台调研)与椭圆 + =1 共焦点且过点 (2,1)的双曲线方程是
2
4
(
)
x
x
2
2
y
y
2
A. - =1
B. - =1
2
4
2
x y
y
2
2
2
x
D. - =1
2
C. - =1
3 3
2
题型(一):求轨迹(定义法)
例 1:已知动圆 M 与圆 C :(x+4)+y =16 外切,与圆 C :(x-4)+y =64
2
2
2
2
1
2
外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.
练习 1 :动圆与两圆x ? y ? 1和 x ? y ? 8x ?12 ? 0 都外切,求动圆圆
2
2
2
2
心的轨迹?
变式 1 :在△ ABC 中,已知 |AB|=4 ,且三内角 A、B、C 满足
2
2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.
题型(二):求双曲线方程
x y
2
2
a b
y
1.(重庆高考)已知双曲线 - =1 ( 0, 0)的一条渐近线为 =
a b
2
2
kx k
e
k
( 0),离心率 = 5 ,则双曲线方程为( )
x y
x y
x y
2 2
2
2
2
2
A. - =1
B. - =1
C. - =1
a a
a a
b b
4
2 2
4
5
2
2
2
2
x y
2
2
D. - =1
b b
5
2
2
x y
3
2
2
a b
y
x
2.已知双曲线 - =1( 0, 0)的两条渐近线方程为 =± ,
a b
3
2
2
若顶点到渐近线的距离为 1,则双曲线方程为____________.
x2
y
2
? ?1(a ? 0,b ? 0)
3.已知双曲线
的一条渐近线平行于直线
a b
2
2
l : y ? 2x ?10,
双曲线的一个焦点在直线 上,则双曲线的方程为( )
l
x2
y
x2
y
3x 3y
2
3x 3y
2
2
2
2
2
? ?1
5 20
? ?1
20 5
?
25 100
?1
?
100 25
?1
B.
C.
D.
x2
? y ?1
2
4.已知双曲线C 、C 的顶点重合,C 的方程为
,若C 的一
4
1
2
1
2
条渐近线的斜率是 C 的一条渐近线的斜率的 2 倍,则 C 的方程
1
2
为
.
题型(三):利用双曲线定义求参数范围
x2
y2
例 1.若方程
+
=1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是
|k|-2 5-k
(
)
A.k-2,或 2k5
C.k-2,或 k5
B.-2k5
D.-2k2,或 k5
x2
y2
x2
y
2
练习 1:若实数 满足0 ? k ? 5,则曲线
?1与曲线
的
?
? ?1
16 ? k 5
k
16 5? k
(
)
A.实半轴长相等
相等
B.虚半轴长相等 C.离心率相等
D.焦距
变式 1:已知
π,则双曲线 :
与 :
?1的
x2
y2
y2
x2
0 ?
? ?
?
?1
?
C
C
?
?
?
?
sin2
4
sin2
cos2
cos2
1
2
(
)
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
题型(四):共焦点求双曲线方程
x2
例 1.与椭圆
共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是(
)
? y ?1
2
4
x2
x2
x y
2
2
y2
A.
B.
C.
D.
2
? y ?1
? y ?1
? ?1
3 3
x ?
?1
2
2
4
2
2
x2
y
x y
2
2
2
? ?1(a>0,b>0)
? =1
练习 1: 已知双曲线
和椭圆
有相同的焦
a b2
2
16 9
点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 ?
x2
16
y2
4
?
?1
例 2:求与双曲线
方程。
有公共焦点,且过点( ,2)的双曲线
3 2
x2
y
2
练习 2:已知双曲线
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