12.二次曲线中的将军饮马.docx

二次曲线中的“将军饮马”问题研究 一．基本原理 1.两点间距离公式：间距离：. 2.直线型将军饮马模型：如图，动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么的最小值即为做点关于的对称点，然后连接后其长度. 3.其他形式的将军饮马模型：若动点为曲线上一点，为曲线所在平面内的两个定点，那么如何求的最值.（公众号：凌晨讲数学） 4.三角不等式：任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线. 如图动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么的最大值当且仅当三点共线. 倘若在两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！此时，的最小 值为0，即为中垂线与的交点. 二．典例分析 例1.已知椭圆内有一点，、分别为其左右焦点，是椭圆上一点，求： (1).的最大值与最小值； (2).的最大值与最小值. 解析：（1）如图：，等号成立当在一侧，且三点共线以及当在一侧，且三点共线.故的最大值与最小值为：.（公众号：凌晨讲数学） 由椭圆定义可知：，由（1）可知：的最大值与最小值为：，故的最大值与最小值为：与 . 小结：已知椭圆上任意一点，椭圆内一定点，如何求：的 距离最值？ 距离差直接用结论，距离和转化为距离差再利用上述结论4求解. 例2．已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（??） A． B． C． D． 解析：由题意可得 ，又，故 ，所以 ，则双曲线方程为 ，结合双曲线定义可得， 如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，此时直线方程为 ，联立，解得点Q的坐标为,( Q为双曲线右支上的一点)， 故，故选：B 小结：已知双曲线上任意一点，双曲线内一定点，如何求：的距离最值？ 利用定义将动点出现在两定点的同侧转化为两定点的异侧，再利用将军饮马解决. 例3.已知动点为抛物线上任意一点，其焦点为，点，试求： （1）的最小值； （2）的最大值. 解析：（1）过向做垂线，垂足为，则，故当三点共线时， 取最小值，最小值为. （2）当在一侧且三点共线时，有最大值. 例4．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 解析：由圆，圆，可知圆圆心为，半径为1，如图，圆圆心为，半径为2，圆关于直线的对称圆为圆，连结，交于，则为满足使最小的点， 此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点， 最小值为，而，的最小值为，故选A. 例5．已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（???） A． B．9 C．7 D． 解析：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为． ，又，， ．点关于轴的对称点为，， 所以，，故选：B． 三．习题演练 习题1．，分别为椭圆的左?右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（????） A． B． C． D． 习题2．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（???） A． B．8 C． D．9 习题3．设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（????） A．当时，的值为6 B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为 C．的最小值为3 D．的最大值为 参考答案 习题1. 解：由椭圆方程得，如图，连接，由于， 所以，所以，因为，当且仅当三点共线时等号成立，所以 所以，故选：A 习题2.由，所以有，设圆的圆心为，半径为，设该双曲线另一个焦点为，所以，求的最小值转化为求的最小值，因此当点依次共线时，有最小值， 即，故选：B 习题3.解析：当时，，故，故A正确； 当时，，由可得，所以， 所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，故B错误； 如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：， 则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，故C正确； 由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，故D正确.故选：B.