10.抛物线焦点弦.docx

10.抛物线的焦点弦 1.常用结论 抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质: 假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为. 性质1.,. 证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过向准线引垂线，垂足分别为.由定义可知：.代入坐标即可证得相关结论. 性质2.抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：. 证明：，则的方程为，整理可得： ，即可得的方程为：.最后，由于直线过焦点，代入焦点坐标可得.再代入抛物线方程 性质3.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 （1）. （2）. 证明：略 性质4.抛物线的通径 (1).通径长为. (2).焦点弦中，通径最短. (3).通径越长，抛物线开口越大. 性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则. 证明思路：中点弦问题，点差法即可. 性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切. 2典例.例1.（2019年全国1卷）已知抛物线方程的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为. 若，求的方程； 若，求． 解析：（1）设直线方程为：，， 由抛物线焦半径公式可知： 联立得： 则 ，解得： 直线的方程为：，即： （2）设，则可设直线方程为： 联立得： 则 ， ， 则 例2.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k0）． 设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以． 由题设知，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程为y=x–1． （2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 ，即． 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得或 因此所求圆的方程为 或． 例3．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条 互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则 的是小值为 (　　) A． B． C． D． 解析：法一:设,,直线方程为 取方程,得 ∴ 同理直线与抛物线的交点满足 由抛物线定义可知 当且仅当(或)时,取得等号． 法二:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为 根据焦点弦长公式有: ． 故选A． 法四:设点,则 设直线的方程为 联立直线与抛物线方程消去可得 所以,所以 同理 所以(当且仅当时等号成立) 更多结论：抛物线的正交弦性质:已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的调和平均数为定值:． 于是本题可以直接利用这个性质秒杀 ,所以． 椭圆与双曲线有类似的性质,于是得到圆锥曲线的正交定值定理 已知圆锥曲线的焦点作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则． 其中是圆锥曲线的离心率,是焦点到对应准线的距离．