3.外接球问题汇编.docx

外接球专题 一．球的截面 若用一个平面去截半径为的球，得到的截面是一个圆： （1）若平面过球心，则截面圆是以球心为圆心的圆； （2）若平面不过球心，如图所示，小圆圆心为，则，记，则. 例1．（2020全国2卷）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 注：球的截面性质是我们处理外接球问题的根本思路! 例2．（2020全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 球的截面性质告诉我们，在计算多面体的外接球时，我们的思路是从平面到空间，先从该多面体的一个面出发，找到其外接圆圆心的位置，进一步，球心与该圆心的连线一定垂直于该平面，这样，就可找到球心和半径. 二．三角形的外心: . 注：等边三角形的外心，直角三角形的外心，正方形，长方形的外心. 三．正方体，长方体的外接球. 正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点 四．正棱柱，直棱柱的外接球. 1.基本定义： 棱柱：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱. 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱. 2.外接球球心： 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. 正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。 3.计算公式： 设底面小圆的半径为，棱柱高为，则. 三．典例分析 例1．（2022新高考1卷）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（???????） A． B． C． D． 解析：∵ 球的体积为，所以球的半径, 设正四棱锥的底面边长为，高为，则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以，当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，，所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. 例2．（2022全国乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（???????） A． B． C． D． 解析：设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又则 当且仅当即时等号成立，故选：C 例3．（2022新高考2卷）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（???????） A． B． C． D． 解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A． 三．习题演练 1.在平面四边形中，，现将沿折起，使二面角的大小为.若四点在同一个球的球面上，则球的表面积为( ) A. B. C. D. 2.已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为，平面，则球O的体积的最小值为_________. 3.如图，已知长方体的底面为正方形，P为棱的中点，且，则四棱锥的外接球的体积为_________________. 4.设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，则___________. 5.已知有两个半径为2的球记为，两个半径为3的球记为，这四个球彼此相外切，现有一个球O与这四个球都相内切，则球O的半径为____________. 习题答案 1.答案：C 解析：本题考查三棱锥的外接球、球的表面积.如图所示，设M为的中点，连接，依题意，折起后是二面角的平面角，则.易知，四面体的外接球的球心O在平面上，于是点O在底面上的射影是正的中心，设为点Q，而点O在侧面上的射影是M，易得，又，因此，进而，所以球O的表面积为，故选C. 2.答案： 解析：本题考查空间几何体的体积.由题意得，三棱锥的体积，则，当球O的体积最小时，外接圆的半径最小，即最小，在中，由余弦定理和基本不等式得，当且仅当取等号，则，此时外接圆的直径，球O的半径，故球O的体积的最小值为. 3.答案： 解析：解法一 由题意知为正三角形，取的中点M，的中心N，记，连接，过分别作平面与平面的垂线，两垂线交于点O，则点O为四棱锥的外接球球心.由题意知，，所以四棱锥的外接球半径，所以四棱锥的外接球的体积. 解法二 连接，记，连接，易知四棱锥的外接球的球心O在线段上.取的中点G，连接，设，球O的半径为R，易知，则，得，则，所以四棱锥的外接球