7.3 离散型随机变量的数字特征.docx

第七章 随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时，不中时，因此随机变量X服从两点分布．X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平． 解：因为，， 所以． 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8． 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么． 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值． 分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值． 解：X的分布列为，，2，3，4，5．6． 因此，． 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示． 表7.3-3 歌曲 A B： C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 分析：根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，C全部猜对．获得6000元基金，因此X是一个离散型随机变量，利用独立条件下的乘法公式可求分布列． 解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立． ， ， ， ． X的分布列如表7.3-4所示． 表7.3-4 X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的均值为 ． 例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ 分析：决策目标为总损失（即投入费用与设备损失之和）越小越好．根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表7.3-5所示． 7.3-5 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案． 解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，． 采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，． 采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此， ，． 采用方案3， ，，． 于是，， ， ． 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2． 练习 1. 已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 （1）求； （2）求． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据期望的公式求出即可． （2）根据期望的性质计算可得； 【详解】解：（1）依题意可得 （2） 2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，求得分X的均值． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，得分，，求出对应的概率，再求出均值． 【详解】根据题意，得分，， ，， 故． 即得分X的均值为0. 3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为，其分布列分别为： 甲机床次品数的分布列 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 乙机床次品数的分布列 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？ 【答案】乙机床更好 【解析】 【分析】分别求两组数据的期望和方差，比较大小即可得到结论. 【详解】易知， ，乙机床数据的期望较小，即乙级床次品的平均数少； ， ，乙机床数据的方差较小，即乙级床产品更稳定， 所以乙级床更好. 7.3.2 离散型随机变量的方差 例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差． 解：随机变量X的分布列为，，3，4，5，6． 因为，， 所以． 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示． 表7.3-9股票A收益的分布列 收益X/元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表7.3-10股票B收益分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3