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*第八节 二元函数的 公式
* 习题 8-8
1. 将函数 f (x ,y ) 2x2 − xy − y2 − 6x − 3y + 5 在点(1,−2) 展成 公式.
解 f (1,−2) 5 , f x (1, −2) (4x − y − 6) (1,−2) 0 ,
f y (1, −2) (−x − 2y − 3) (1,−2) 0 ,
f xx (1,−2) 4 , f xy (1, −2) −1, f yy (1,−2) −2 ,
函数为 2 次多项式, 3 阶及 3
阶以上的各偏导数均为零.又因为 h x − 1, k y +
2 ,
将以上各项代入 公式, 得
f (x ,y ) f (1, −2) + (x − 1)f x (1, −2) + (y + 2)f y (1, −2)
1
2 2
+ [(x − 1) f (1, −2) + 2(x − 1)(y + 2)f (1, −2) + (y + 2) f (1,−2)]
2! xx xy yy
1
2 2
5 + [4(x −1) − 2(x − 1)(y + 2) − 2(y + 2) ]
2
2 2
5 + 2(x − 1) − (x − 1)(y + 2) − (y + 2) .
2. 将函数 f (x ,y ) ex+y 在点(1,− 1) 展成 公式.
解 f (1,−1) 1, f x (1, −1) ex+y (1,−1) 1, f y (1, −1) ex+y (1,−1) 1,
, f (n) (1,−1) ex+y (1,− 1) 1 (m 0,1,, n),
m n−m
x y
又因为 h x − 1, k y + 1,
将以上各项代入 公式, 得
1
x+y 2 2
e 1+ (x − 1) 1+ (y + 1) 1 + [(x − 1) 1+ 2(x − 1)(y + 1) 1+ (y + 1) 1]
2!
1
3 2 2 3
+ [(x − 1) 1+ 3(x −1) (y + 1) 1+ 3(x − 1)(y + 1) 1+ (y + 1) 1]
3!
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