无穷小比较教学设计.doc

PAGE 课程名称 微积分 课 题 1.6 无穷小的比较 一、教材内容分析 本节内容是继学生学习了无穷大与无穷小和极限的运算法则之后，对无穷小的概念有了一定了解，掌握了极限计算方法的基础上，进一步学习了等价无穷小的概念和利用等价无穷小代替的方法求极限。本节课学习的利用等价无穷小代替求极限运算的方法，是本章和本节的重点内容之一。 二、教学目标 1、 知识与技能目标： 明确无穷小的定义；掌握无穷小的比较方法，熟记常用的等价无穷小；会利用等价无穷小的代替求极限。 2、过程与方法目标： 通过慕课预习加深学生对无穷小概念的认识；引导学生积极思考，组织学生讨论两个无穷小商的情况，从而引出无穷小的比较。掌握常用的等价无穷小代替，并应用的极限的计算中去，从而简化极限的计算。 情感态度与价值观： 通过本节的学习使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题，让学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生创新意识和探索精神。 三、教学重点与教学难点 重点：掌握等价无穷小的定义，熟记常用的等价无穷小。 难点：掌握利用等价无穷小代替求极限的方法。 四、教学策略选择与设计 本节课利用信息技术的先进教育手段，采用指导探究教学模式，引导学生积极思维，得到等价无穷小的概念，并应用到极限的运算中去，提高学生分析综合的逻辑思维能力，体会数学的乐趣。 五、学情分析 学生已经学习了数列的极限和函数的极限，掌握了求极限的方法，为后续知识的学习奠定了计算基础；学习了无穷小的运算法则，由法则知，两个无穷小的和、差是无穷小，两个无穷小的乘积是无穷小，在此基础上，需进一步分析两个无穷小商的关系。 六、教学环境及资源准备 优慕课预习资源 多媒体教室，多媒体课件 学具准备：每人准备好笔，书本，草稿纸 七、思政教育 我们每个人刚刚走进学校进行学习的时候，我们就像是一个个的无穷小，但是有的人很努力，以指数增长的形式去努力，有的人以倍数形式努力，有的人还和平时差不多，那么时间久了，差距就会体现出来，有的人进步快，有的人进步慢但也在进步，而有的人则止步不前。大学期间是一生中最美好的时光我们要拿出指数增长的精神，努力学习呀！ 八、教学过程 教学 过程 教学活动 设计意图及资源准备 问题 引申 师：同学们今天我们学习无穷小的比较，本节课共三个部分。（出示PPT）从本章第三节中我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。那么两个无穷小的商，是否仍然是无穷小呢？ 生：不一定。 师：那是什么结果呢？ 引导学生自主探究两个无穷小商的情况。 学生分组讨论。 选一个组汇报讨论结果，无穷小的商的几种情况。 其他组可以进行补充。 师：（出示PPT）通过大家的讨论我们已经知道无穷小的商在不同情况下结果是不同的。 例如，当时，，，都是无穷小，而 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度，就上面的几个例子来说，在的过程中，比“快些”，反过来比“慢些”，而与“快慢相仿”。 请同学们结合自身思考一下，为何有的快，为何有的慢，还有快慢相仿呢？ 激发学生兴趣，引出本节内容。 思政教育 定义讲解 同学们切身的想一想，比如我们每个人刚刚走进学校进行学习的时候，我们就像是一个个的无穷小，但是有的人很努力，以指数增长的形式去努力，有的人以倍数形式努力，有的人还和平时差不多，那么时间久了，差距就会体现出来，有的人进步快，有的人进步慢但也在进步，而有的人则止步不前。大学期间是一生中最美好的时光我们要拿出指数增长的精神，努力学习呀！ 师：(出示PPT)通过以上讨论我们得到下面结论，就无穷小之比的极限存在或为无穷大时，来说明两个无穷小之间的比较. 应当注意，下面的及都是在自变量的同一个变化过程中的无穷小，且，也是在这个变化过程中的极限. 定义 如果，就说是比高阶的无穷小， 记作； 如果，就说是比低阶的无穷小； 如果，就说是与是同阶无穷小； 如果，，就说是关于的阶无穷小； 如果，就说与是等价无穷小，记作 等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即的情形. 请同学们思考有哪些我们常用无穷小是等价的呢？ 比如，还有哪些与等价呢？ 总结：当时， （出示PPT）关于等价无穷小，有下面两个定理. 定理1 与是等价无穷小的充分必要条件为 学生通过讨论，归纳整理出无穷小的商的几种情况。 定理应用 举例 定理2 设，，且存在，则 师：定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替. 如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化. 师： 求 请同学们用两种方法计算以上极限，并对两种方法进行比较。请两位同学到黑板前作答。 结论是利用等价无穷小代替的方法更简便。 例2 求. 例3 求. 例4 求 请两位同学到黑板作答。 大家发现例4有什么不同呢？