高数二 9.5向量初步.pptVIP

一、空间点的直角坐标 二、空间两点间的距离 三、向量的概念 四、向量的加减法 五、向量与数的乘法 六、向量在轴上的投影与投影定理 七、向量在坐标轴上的分向量与向量 八、向量的模与方向余弦的坐标表示式 九、小结 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 解 设 为直线上的点， 由题意知： 非零向量 的方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向量模长的坐标表示式 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为 解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或 解 解 空间直角坐标系 空间两点间距离公式 （注意它与平面直角坐标系的区别） （轴、面、卦限） 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 （注意与标量的区别） （平行四边形法则） （注意数乘后的方向） * 向量及其运算 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. Ⅶ 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 解 原结论成立. 解 设P点坐标为 所求点为 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 模长为1的向量. 零向量： 模长为0的向量. | | 向量的模： 向量的大小. 单位向量： 或 或 或 自由向量： 不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量. [1] 加法： （平行四边形法则） 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向 （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系 证 充分性显然； 必要性 ‖ 两式相减，得 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 例1 化简 解 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. 证 于是 空间两向量的夹角的概念： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 空间一点在轴上的投影 空间一向量在轴上的投影 关于向量的投影定理（1） 证 定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 关于向量的投影定理（2） （可推广到有限多个） 的坐标 由例1知 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 按基本单位向量的坐标分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标： 向量的坐标表达式： 特殊地： * * * *