高数二 2.1导数的定义.pptVIP

导数与微分 一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的几何意义与物理意义 五、可导与连续的关系 六、小结 * 导数的定义 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 定义 其它形式 即 ★ ★ 关于导数的说明： 注意: ★ 播放 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. ★ 2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ★ ★ ★ 步骤: 例1 解 例2 解 例3 解 更一般地 例如, 例4 解 例5 解 例6 解 1.几何意义 切线方程为 法线方程为 例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度. 定理 凡可导函数都是连续函数. 证 连续函数不存在导数举例 0 例如, 注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 0 1 例如, 例如, 0 1 1/π －1/π 例8 解 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. 思考题 思考题解答 * *