自适应收敛LMS算法和最速梯度法.docx

SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 题目：自适应信号处理作业二 学生姓名: 专 业 : 学院(系): 一、 题目要求 Design system identification. The unknown system must by 4-order AR system and LMS should be 10 order. Show the result. Coefficient of AR model. Converge process of each algorithm Result of each algorithm. Error of output Time of converge. 二、 系统简介 自回归模型 自回归模型（Auto-regressive model，简称 AR 模型），是统计上一种处理时间序列的方法，本质上是一种线性预测，即用某变量前期的各点值预测现在或将来某一时刻的值。该方法源于回归分析中的线性回归，不过他不是用其他变量来预测当前变量，而是用该变量自己在前期的值来预测自己，因此被称作自回归。自回归模型可以用于处理分离正弦信号频率， 多应用于机械零件比如齿轮、轴承故障诊断和分析。 自回归模型的数学表达式可写作 ??(t)=??(??)+?? ??(???1)+?? ??(???2)+?+???? ?? (?????) 1 2 其中 u(t)是变量在当前时刻的预测值，v(t)是零均值的白噪声，u(t-1),...,u(t-n)是 u(t)在前 期各个时刻的值。建立的四阶 AR 模型系统框图如下： 系统辨识 系统辨识主要由未知系统和自适应滤波器组成，结构如下 如上图所示系统识别时，输入信号 x(k)同时输入到未知系统和自适应滤波器。未知系统的输出量被自适应滤波器用来作为希望信号d(k)。滤波器不断地通过自适应算法自动调节系数 W(k)，使得其输出量与未知系统输出量匹配，从而学习发现其系统结构。 自适应滤波器除了包括一个按照某种结构设计的滤波器，还有一套自适应的算法。自适 应算法是根据某种判断来设计的。自适应滤波器的算法主要是以各种判据条件作为推算基础 的。通常有两种判据条件：最小均方误差判据和最小二乘法判据。LMS 算法是以最小均方误差为判据的最典型的算法，也是应用最广泛的一种算法。最小均方误差(Least Mean Square， LMS)算法是一种易于实现、性能稳健、应用 广泛的算法。所有的滤波器系数调整算法都是设法使 y(n)接近 d(n)，所不同的只是对于这种接近的评价标准不同。LMS 算法的目标是通过调整系数，使输出误差序列 e(n)=d(n)-y(n)的均方值最小化，并且根据这个判据来修改权系数，该算法因此而得名。误差序列的均方值又叫“均方误差”(Mean Square Error，MSE)。 理 想信号d(n)与滤波器输出y(n)之差e(n)的期望值最小，并且根据这个判据来修改权系数W(n)。由此产生的算法称为 LMS。均方误差 ε 表示为 自适应滤波器包括数字滤波器和自适应算法两部分，它是以最小均方误差为准则，由自适应算法通过调整滤波器系数以达到最优滤波的时变最佳滤波器。基于自适应滤波器的此特性，在系统识别时先测量出由未知系统产生的信号，然后将测量结果送至自适应滤波器，通过自适应算法调整其系数从而构建出未知系统的模型。自适应滤波器的结构如下所示 三、 系统辨识的实现 根据上述讨论实现系统辨识，我们需要设计一个未知系统（4 阶 AR 模型）和一个自适应滤波器（10 阶）。4 阶 AR 模型中的参数由 Matlab 的 Burg 方法得到，给出的 4 阶 AR 模 型如下： 对于 10 阶的自适应滤波器做以下假设： c) 误差信号或者叫作代价函数，是所要信号与估计信号之差 可变滤波器通过将输入信号与脉冲响应作卷积估计所要信号，用向量表示为 其中 是输入信号向量。另外，可变滤波器每次都会马上改变滤波器系数 自适应算法根据输入信号与误差信号生成这个校正因子，在实验中我们分别用LMS 算法来实现。 LMS 算法的模型参数更新公式为 W ? W k ?1 k ? 2?? X k k 其中 X 是输入， ? 是步长， ? 是位置系统输出与自适应滤波器输出之间的误差。 k k 本实验中我们还采用了梯度下降算法，这种算法的模型参数更新公式为 W ? W k k ? 2? (P ? RW ) 其中 R ? E[ X X T ] ， P ? E[d X ] ， d 是未知系统的输出信号，也是我们要逼近的 k k k k k 期望值。 四、 实验仿真 在实验中，未知系统取为 4 阶 AR 模型，模型输入为高斯白噪声，模型参数由Burg 方法估计得出。用 10 阶自适应滤波器去估