南京大学《离散数学》课件-第16章群论导引.docxVIP

第十六章群论导引 离散数学教学组 南京大学 回顾 ?运算及其封闭性 ?运算的性质 、—A-A- —|— ?运算表 ?代数系统 ?代数系统的同构与同态 提要 ?对称的代数 ?半群 ? Monoid ?群 ?群论公理 ?群的性质 对称的代数 Group theory is the branch of mathematics that answers the question What is symmetry?” Nathan C. Carter .在Longman字典里，symmetry被解释为“exactlikeness in size, shape, form, etc., between theopposite sides of something,,对称的代数 .在Longman字典里，symmetry被解释为“exact likeness in size, shape, form, etc., between the opposite sides of something,, 对称的代数 ■如何把这些“对称”当中共同的本质抽象出 来，用数学语言理性地加以描述？ ■什么是对称的共性？什么是对称的本质？ 变VS.不变 对称的代数 ■对称的数学定义涉及不变性，若一个几何图形在某个变换下保持不变，则称此图形在此变换下对称 ■在科学中，对称性是指某种操作下的不变性或者守 恒性，对称性常与守恒定律相联系 O空间平移不变性—动量守恒定律 O时间平移不变性—能量守恒定律 O转动变换不变性—角动量守恒定律 O空间反射（镜像）操作不变性-宇称守恒 对称的代数 对称变换和对祢群 守恒量 附 注 空间平移 动量P 时间平移 能鼠E 空间转动 角动量J 洛伦兹变换 洛伦兹增压K 电広规范变换群 电荷Q 色规范变换群5(/(3) 色荷 全同粒子交换 时空强反射 CPT 导致统计分类 /子数变换 重子数B 可能破映 轻子数变换 轻子数(e轻子数，p轻 子数,T轻子数等) 可能破缺 空间反射 宇祢P 破铁 时间反演 T 破缺 电荷共辘 C 破缺 味手征变换群 SU(N)lxSU(N)r 姫荷，同位誌等 破缺(见手在对称，性) 味轴矢变换U(】)A 为辐射修正引起的轴矢反 常項破缺 电堤规范群 SU(2)LxU ⑴ r 电荷 自发破缺(见规范场) 强电弱大统一规范群 尚未确定 〔作为大统一的初歩尝试的 SU(5)、SO(10)等规范群) 自发破缺(见大统一理论) 表1对称性和守恒量 自身的保距的 对应变换 自身的保距的 对应变换 对称的代数 ■例如：正方形的对称是从正方形的顶点集到它 本身的一个一一对应，其保持相邻点之间距离 不变（这样的变换在物理上是刚体运动） ■定义：几何图形的一个对称是从图形点集到其 激鑿儀 TOC \o 1-5 \h \z \o Current Document 对称的代数 爐^ 设正方形的4个顶点为1、2、3、4;重心为O,对角线为。1和。2，水平中践为H （ 1 2 3 4 \ h 社，3 ?：4 ） 我们现在找出正方形所有的对称 对称的代数 旋转对称：由以下刚体运动完成 7?1：绕。顺时针转9()。，易见/?1 = 12 3 4 4 12 3 “2：绕O顺时针转180°,易见/?2 = 12 3 4 Z?3：绕。顺时针转270°,易见晶= Ro：绕。顺时针转36。。, 易见7?0 = 对称的代数 反射对称：由以下刚体运动完成 H:对于水平中线H的反射。Di：对于对角线Qi的反射。 V:对于垂直中线U的反射。D2:对于对角线的反射。 对称的代数 ■对称之代数的本质在于我们能定义两个对称 的乘积，也即两个变换的连续作用后的结果 例如：指先右转90。，后 做水平反射，结果得Di,故 H ;而 H * R] =。2 , 由此可以看出R] * H A H*Ri 对称的代数 我们可以得到下列乘法表(Cayley Table ) * Rq Ri Ri Rs H V Di d2 凡 Ri Bi H V Di P2 Ri R1 (厲 Di ■ 「以 凡 Ro ■ fa \ 2 岛 9 \ / 11 11 2 no / \ V V Ro 玖 ? ? z 3 4 \d2 d2 d2 . Ro  对称的代数 令S = {7?o. R 令S = {7?o. R、. R? 1?3. V. H. Oi, D2} *为5上的两元运算 事实上可通过函数的复合来计算积。例如 ⑴*对于S是封闭的，即(Vj;, y e S)(￡ * g ￡ S) (Vi*, y, z E S)(x * (y * z) = (z * y) * z) (Vj： ￡ S)(7?o * = z * Ro = c) (Va; e S)(3y e S)(i *y