南京大学《线性代数》课件-第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换.pptVIP

- * - 5.对称矩阵 设 为 n 阶方阵，如果 则称A为对称矩阵. 例如 - * - 例如 是 3 阶反对称矩阵. 设 为 n 阶方阵，如果 则称 A 为反对称矩阵. 6.反对称矩阵 思考: A是反对称矩阵，那么 - * - 定义 设 是两个 矩阵,且满足 则称 A 与 B 相等，记作 A = B. 思考1：零矩阵 与零矩阵 相等吗？ 思考2：矩阵 且 A=B 则 - * - 矩阵的初等变换（P5） 初等变换是研究矩阵的性质、求矩阵的逆和解线性方程组的重要工具.其核心是利用初等变换,把复杂矩阵化成简单矩阵来处理, 同时要求简单矩阵还要保留原来矩阵的若干性质. - * - (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上， (1) 交换矩阵的某两行，记为 (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 记为 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第三种初等行变换: 定义 类似定义三种初等列变换: 以上六种变换统称为矩阵的初等变换. - * - 记号 初等行变换 初等列变换 初等变换 通常, 第一种初等行(列)变换又称对调变换; 第二种初等行(列)变换又称倍乘变换; 第三种初等行(列)变换又称倍加变换. - * - 例如 结论：初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换 类型相同. 逆变换 逆变换 逆变换 初等列变换也有类似的结果… - * - 定义 ： 等价关系的性质 ： 具有上述三条性质的关系称为等价． (2)对称性 则 (1)反身性 (3)传递性 若 则 - * - 例1 把 化成上三角矩阵 解 上述矩阵具有以下特点： ① 每个“阶梯”上只有一行； ② 每个阶梯上第一个数不等于0； ③ 阶梯的左下方元素全为0。 具有以上三个特点的矩阵称为行阶梯形矩阵 - * - 具有特点④的行阶梯形矩阵称为行最简阶梯形矩阵 ④ 每个阶梯上第一个数为1， 并且这些1所在列 的其它元素全为零。 特点 化阶梯形：从上到下，从左到右。 化最简形：从下向上，从右到左。 注意:箭头不能为等号 - * - 下面矩阵也是行阶梯形矩阵 下面矩阵是行最简阶梯形矩阵 - * - 只用初等行变换将矩阵 A 尽量化简. 例2 - * - 阶梯形 阶梯形 最简阶梯形 - * - 根据例2，不难得到下面定理： 只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯矩阵和行最简形梯矩阵. 梯矩阵不唯一, 行简化梯矩阵唯一. 定理 例3 用初等行变换将A化为行阶梯形矩阵，进而化为行最简阶梯形矩阵. - * - - * - 作业：P7 1，3，4 - * - 特别地, 当 m=n 时,称为 n 元齐次(非齐次)线性 方程组. (1) 若常数项 全为零, 则称方程组为 齐次线性方程组. 反之, 若常数项 不全 为零, 称为 非齐次方程组. 线性方程组 定义 §1.3 解线性方程组的消元法 - * - 当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组 成为(1)导出的齐次线性方程组。 若存在 使(1)式每个方程成为恒等式，则称 是(1)的一个解,否则称之为无解或不相容。 - * - 例如 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵 称为方程组(1)的增广矩阵. 定义 - * - (注意方程组初等变换与增广矩阵初等行变 换的关系） 我们将通过下面的例子,来说明高斯消元法的求 解过程. 例1 解线性方程组 解 - * - 互换方程(1)与(2)的位置,得 (1) (2) (3) - * - (2)－(1)×2, (3)－(1)×4, 得 (3)－(2), 得 (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) - * - (3)×(-1/