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第4章高斯光束 基模高斯光束是一种非均匀波。它有点类似于平面波，但是它的强度分布是不均匀的， 主要集中在传播轴附近，它的等相面也不是平面，而略有弯曲。稳定腔激光器输出的激光束 属于各种类型的高斯光束，非稳腔输出的基模光束经准直后，在远场强度分布也是接近于高 斯型的。因此，研究高斯光束的特性和传输和变换的规律，对于与激光束变换有关的光学系 统的设计，以及光学谐振腔的工程设计都是至关重要的。 第一节高斯光束的基本特点 4.1.1 基模高斯光束 一、振幅分布 由公式(4.102)和(4.103)可以推出沿z轴传播的基模高斯光束的表达式为 其中 其振幅为 (4.1) (4.2) (4.3) 可见，基模的行波场振幅在任意z坐标处的横截面内都是高斯分布，同样可定义w(z) 为与传播轴线交于z点的基模光斑半径，R(z)为与传播轴线相交于z点的光束等相位 面曲率半径，且f为高斯光束的共焦参数代表共焦腔的特征 )。由式(4.2)可知， 不同z处的基模光斑半径不同，w(z)随坐标z按双曲线规律变化(如图4. 1所示) (4.4) 在z=0处，式中w(z)达到极小值，w(0)=w,通常把w。称为高斯光束的基模腰斑半 径 ( 束 腰 ) 。 有 时 也 用 符 号 z g 代 替 f , 称 为 高 斯 光 束 的 瑞 利 长 度 ； 则 有 R(ZR)=2ZR 图5.1 基模高斯光束及其参数 w(zr)= √ 2wo,R(zr)=2zg,可见zx实际上代表的是共焦腔中心到一个反射镜的距离， 同时也是高斯光束光斑半径增加束腰 √ 2倍的位置。通常认为在z=±zn的范围内，高斯 光束是近似平行的，因此实际应用中，也把2zx称为高斯光束的准直距离。 二、 模体积 某一模式的体积是指该模式在腔内所扩展的空间范围。模体积越大，说明对该模式的振 荡有贡献的激活粒子就越多，从而可获得较大的输出功率。由于基模高斯光束的光斑大小随 z变化，因此模体积可按下式计算 (4.5) 三、 等相位面分布 高斯光束既不是平面波，也不是一般的球面波。正如在4.6.5中讨论的那样，基模高斯 光束在傍轴近似下可以看作是一种非均匀高斯球面波。在传播过程中相面始终保持为球面， 而其曲率中心与曲率半径不断改变。当z=±f的时候，R(±f)=2f=L,等相位面与腔镜 反射面重合；当z=0或z → c时候，R(0)=R(o) → α,共焦腔的中心位置及距中心无限远 处的等相位面都是平面；腔镜反射面是基模高斯光束传播过程中曲率半径最小的等相位面。 四 、相移 基模高斯光束的总相移为 其中kz为几何相移， 为与径向有关的相移， (4.6) 为附加相移。 五、 远场发散角 共焦腔基模高斯光束的光斑半径按双曲线规律从中心向外扩展，不同位置的光束发散角 不同；通常高斯光束的远场发散角(图4.1所示，双曲线的两条切线的夹角θo)定义为高斯 光束的发散角，计算公式如下： (4.7) 4.1.2 高阶模高斯光束 稳定球面腔中，除了基模高斯光束存在以外，还有高阶高斯光束。如4.6节讨论，方形 共焦腔的自再现模积分方程的解可以近似为表示厄米函数和高斯函数的乘积；而圆形共焦腔 自再现模积分方程的解可以近似表示为拉盖尔函数和高斯函数的乘积；因此，两种共焦腔对 应的高阶高斯光束分别称为厄米—高斯光束和拉盖尔—高斯光束。 一、厄米一高斯光束 沿z方向传播的厄米— 高斯光束的表达式为 (4.8) 其与z轴垂直的截面内场分布由高斯函数和厄米函数乘积决定，光斑在x方向有m条节线， 在y方向有n条节线，x、y方向光斑半径不同，分别为 相对应的远场发散角为 沿z轴传输中的附加相移为 (4.9) (4.10) (4.11) 可见，厄米高斯光束的光斑半径和附加相移均随阶次(m,n)的增高而增大。另外，由公 式(4. 115)可知，厄米高斯光束的等相面半径与m,n无关，由腔参数f和位置z决定， 说明其各阶横模的等相位面重合。 二、 拉盖尔高斯光束 沿z方向传播的拉盖尔— 高斯光束的表达式为 (4.12) 其与z轴垂直的截面内场分布由高斯函数和拉盖尔函数乘积决定，光斑在径向r有n条节线， 在幅角p方向有m条节线。式中取sinmg和csmp的区别在与光斑的极值和零点的方向互 易。光斑和基模高斯光束光斑半径的近似关系为为 相对应的远场发散角为 沿z轴传输中的附加相移为 (4.13) (4.14) (4.15) 可见，拉盖尔高斯光束的光斑半径和附加相移均随阶次(m,n)的增高而增大，且随径向 增大的快些。另外，有公式(4.115)可知，拉盖尔高斯光束的等相面半径与m,n无关， 由腔参数f和位置z决定，说明其各阶横模的等相位面重合。 拉盖尔—高斯模与厄密—高斯模虽然形式上完全不同，但它们各自都构成一组正交完备 函数；激光器中的实际光场可按这两组