初二数学知识手册（下）.docx

二次根式 知识体系： 章节概述： 本章内容我们将分三个模块进行学习： 　　第一部分为二次根式的概念和性质； 　　第二部分为二次根式的混合运算； 　　第三部分为二次根式的应用； 　　通过本章学习，最终达到综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则，熟练解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题的目标．  知识清单： 二次根式 一、二次根式的概念和性质 1．二次根式的概念 形如的式子，叫做二次根式； 注意： （1）二次根式的识别 ①被开方数非负； ②根指数为2． （2）二次根式的实质是求一个非负数（式）的算术平方根． （3）考查二次根式中字母取值范围的常见类型有四种： ①被开方数是一个整式，如，只要满足被开方数大于等于0； ②被开方数是一个分式，如， 只要被开方数大于等于0，同时分母不等于0； ③被开方数是一个整式且能配成完全平方式+正数的形式， 如，则a可以取任何实数； ④分子是二次根式，分母是一个整式，如， 则既要考虑分子上字母的取值范围，又要考虑分母上字母的取值范围． 2．二次根式的性质 （1）性质1：; （2）性质2： （3）性质3：； 注意： 性质1中包含两点非负要求（简称双重非负性）： （1）根号下非负，即a≥0； （2）二次根式非负，即； 性质2使用时，先将，再用绝对值化简解决问题； 性质3使用前提：或． 二、二次根式的运算 1．同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，被开方数（式）相同． 2．最简二次根式： 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． 注意：最简二次根式需满足的条件： （1）被开方数中的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式； （3）分母不能含根号． 3．分母有理化 在二次根式中，将无理数的分母化为有理数的过程叫做分母有理化． （1）单项根式的分母有理化，同乘分母根式的部分， 即； （2）两项根式的分母有理化，同乘使分母构成平方差公式的因式． 即； ． ４．二次根式四则运算 （1）乘除法 ； （2）加减法 ， （3）混合运算 遵循有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等； （4）乘法运算的推广 ① ② ③ ④ 注意： 二次根式运算结果必须是最简二次根式．  三、二次根式的应用 1．二次根式比较大小 （1）估算法：，，． （2）带分母的二次根式比较大小： ①分母有理化：转化为分母一样，比较分子的大小； ②分子有理化：转化为分子一样，比较分母的大小． （3）作差作商：作差和0比较大小，作商和1比较大小． （4）平方法：若被开方数，和相等，则两边同时平方． 如：． （5）取倒数法：若被开方数，差相等，先取倒数，分母有理化之后，再比较大小．如：． 2．二次根式的配方 ； 3．双重根式化简 （1）配方法 ①类型： 将表示成形式，利用待定系数法得：， 求得a和b，则； ②类型： 将改写成，转化成①的类型即可； （2）平方法 先将复合二次根式平方并化简，再将结果开方，求得原式的值． 专属练习： 1．________， ________，________， 2．代数式中，的取值范围是________ ． 3．已知实数， 满足 ，则 ________． 4．化简二次根式：（1）________；（2） ________； （3）= ________． 5．计算：_______ ． 6．把分母有理化：=________ ． 7．计算：=____． 8．计算：= ________． 9．比较大小：_______（填“”、“ =”或“” ) 10．若最简二次根式 与是同类二次根式，则的值为________． 11．代数式的最小值为________ ．  勾股定理 知识体系： 章节概述： 本章内容我们将分为三个模块进行学习： 第一部分为勾股定理； 第二部分为勾股定理逆定理； 第三部分为直角三角形相关内容． 本章我们通过对面积关系的探究，发现并证明了勾股定理．勾股定理是数学中最重要的定理之一，它反映了直角三角形三边的数量关系，故常被用于解决与直角三角形相关的问题．通过本章学习，希望同学们最终达到灵活运用勾股定理和逆定理解决直角三角形相关问题和实际问题的目标．  知识清单： 勾股定理 一、勾股定理 1．勾股定理 （1）性质：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 如果直角三角形的两直角边为，，斜边长为，则． （2）证明： ①赵爽弦图证明法 证法如下：， 化简得： ②毕达哥拉斯证明方法 如图，将长方形绕点顺时针旋转，得到长方形. 其中：，，. 证法如下： 化简得： ③总统证明法 证法如下： 化简得：  二、勾股定理的应用 1．勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直