小学数学几何五大模型教师版.docx

几何五大模型 一、五大模型简介 等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S ：S 1  =a:b； 2 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S ：S =a:b； 1 2 S =S △ACD 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S ，则可知直线AB 平行于CD。 △BCD =S △ACD  △BCD ；反之，如果 例、如图，三角形 ABC 的面积是 24，D、E、F 分别是BC、AC、AD 的中点，求三角形 DEF 的面积。 鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之 比。 如图下图三角形ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上或AB、AC 延长线上的点 则有：S ：S △ABC  △ADE =（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接BE，根据等积变化模型知，S ：S △ADE =AD：AB、S △ABE ：S △ABE =AE：CE， △CBE 所以S ：S =S ：（S +S ）=AE：AC，因此S ：S =（S ：S ） △ABE △ABC △ABE △ABE △CBE △ADE △ABC △ADE △ABE ×（S ：S △ABE ）=（AD：AB）×（AE：AC）。 △ABC 例、如图在 ΔABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且 AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE 的面积为 12 平方厘米，求 ΔABC 的面积。 蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形 ABCD，AB 与CD 平行，对角线 AC、BD 交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为 25 平方厘米、35 平方厘米，求梯形ABCD 的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： 例、如图，四边形ABCD 的对角线AC、BD 交于点 O，如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 面积的 1/3，且AO=2、DO=3，求 CO 的长度是DO 长度的几倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 相似模型 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： ①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有 BC 平行DE 这样的一对平行线！ 例、如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB=16、AD=10、BE=4，那么 FC 的长度是多少？ 燕尾模型 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质： S ：S =S ：S =BE：CE △ABG △ACG △BGE △CGE S ：S =S ：S =AF：CF △BGA △BGC △GAF △GCF S ：S =S ：S =AD：BD △AGC △BGC △AGD △BGD 例、如图，E、D 分别在AC、BC 上，且AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD 与BE 交于点 F，四边形DFEC 的面积等于 22 平方厘米，求三角形ABC 的面积。 二、五大模型经典例题详解 等积变换模型 例 1、图中的E、F、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12，那么阴影部分的面积是多少？ 例 2、如图，Q、E、P、M 分别为直角梯形ABCD 两边AB、CD 上的点，且DQ、CP、ME 彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形PQM 的面积。 鸟头（共角）定理模型 例 1、如图所示，平行四边形 ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四边形 ABCD 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 与四边形EFGH 的面积比。 E G G F F 【详招］ 加图所示， 连拸AC、 BD, 由千在b. ABC、 b. EBF 中， 乙诏 C 与L邸F 互补， 所以根据 鸟头定理有 S AB -BC l 沃l l l哼 ＝—；因为 s丛邱－ ＝—S 产 妇 牢 D = 鸟头定理