二重积分的参数方程.docx

二重积分的参数方程 以下面一道例题来论述 第一步，把二重积分的内积分先积分，进而把二重积分转化为定积分。 第二步，将参数方程代入第一步中得到的定积分，即可得到只有t的定积分，然后按定积分的计算方法进行。 对弧长的曲线积分计算: 定理:设函数?f(x,y)?在曲线弧?L?上有定义且连续,?L?的参数方程为?{x=φ(t),y=ψ(t)(α≤t≤β)?, 若?φ(t),ψ(t)?在?[α,β]?上具有一阶连续导数,且?φ′2(t)+ψ′2(t)≠0,?则曲线积分?∫Lf(x,y)?存在,且?∫Lf(x,y)ds=∫αβf[φ(t),ψ(t)]φ′2(t)+ψ′2(t)dt(αβ)?. 证明:参数?t?从?α?变到?β?时,?L?上的点依点?A?至点?B?的方向描出曲线弧?L?取一列点 A=M0,M1,...,Mn?1,Mn=B?. 对应单调递增的参数值:?α=t0t1...tn?1tn=β?. 由对弧长的曲线积分的定义,有 ∫Lf(x,y)ds=limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δsi, 设 点(ξi,ηi)?对应参数值?Ti,?即?ξi=φ(Ti),ηi=ψ(Ti),?这里?ti?1≤Ti≤ti,?由于 Δsi=∫ti?1tiφ′2(t)+ψ′2(t)dt?. 由积分中值定理,有?Δsi=φ′2(Ti′)+ψ′2(Ti′)Δti,Δti=ti?ti?1,ti?1≤Ti′≤ti?. 所以 ∫Lf(x,y)ds=limλ→0∑i=1nf(φ(Ti),ψ(Ti))φ′2(Ti′)+ψ′2(Ti′)Δti 又因为?φ′2(Ti′)+ψ′2(Ti′)?在闭区间?[α,β]?上连续. 所以?∫Lf(x,y)ds=∫αβf(φ(t),ψ(t))φ′2(t)+ψ′2(t)dt?. 格林公式: 设闭区域由分段光滑的曲线?L?围成,若函数?P(x,y),Q(x,y)?在?D?上具有一阶连续偏导数,则有??D(?Q?x??P?y)dxdy=∮LPdx+Qdy?. 例1:?a0,?求星形线?x32+y32=a32?所围的面积. x23+y23=a23?(xa)23+(ya)23=1?((xa)13)2+((ya)13)2=1?. 令?(xa)13=cos?t,(ya)13=sin?t?x=acos3?t,,y=asin3?t. 尝试一: ?Q?x??P?y=1,?Q(x,y)=x,P(x,y)=0 S=∮Lx?dy=∫02π3a2sin2?tcos3?tdt 发现不好求,转换策略 尝试二: ?Q?x??P?y=1,?Q(x,y)=x2,P(x,y)=?y2?. S=12∮Lxdy?ydx=3a22∫02π(sin2?t+cos2?t)sin2?tcos2?tdt=3a22∫02πsin2?tcos2?t?dt=3a216[t?sin?4t4]|02π=3a2π8 三角函数系的正交性(推导见傅里叶级数篇) 推广:?a0,m,n?是正奇数,求曲线?x2m+y2n=a2?所围的面积. x2m+y2n=a2?(x1ma)2+(y1na)2=1 令?x1ma=cos?t+y1na=sin?t?x=acosm?t,y=asinn?t. ?Q?x??P?y=1?Q(x,y)=x2,P(x,y)=?y2?. S=12∮Lxdy?ydx=na22∫02πcosm+1?tsinn?1?tdt+ma22∫02πsinn+1?tcosm?1?tdt=a22∫02πsinn?1?tcosm?1?t(ncos2?t+msin2?t)?dt 例2: 计算??D(x2+y2)dxdy,D?是?x2+xy+y2=1?围成的区域. 分析:区域特征很明显,是由一条闭合曲线围成的. x2+xy+y2=1?(x+12y)2+(32y)2=1?{x+12y=cos?t32y=sin?t?{x=cos?t?13sin?ty=233sin?t 显然,区域?D?关于 直线y=x?对称. 所以??D(x2+y2)dxdy=2?Dy2dxdy?. 取?Q(x,y)=xy2,P(x,y)=0. ?Dy2dxdy=∫Lxy2dy=∫02π(839sin2?tcos2?t?89sin2?tcos?t)dt=∫02π839sin2?tdt?∫02π839sin4?tdt=23π9 所以??D(x2+y2)dxdy=2?Dy2dxdy=43π9?.