全国大联考2023届高三第四次联考 数学试卷试题及答案.docx

PAGE 全国大联考 2023届高三第四次联考·数学试卷 考生注意： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将试卷答案填在答题卷上． 3．本试卷主要考试内容：前3次联考内容，立体几何． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合或，，则（） A. B. C. D. 答案：C 计算，再计算交集得到答案. 解：或，，． 故选：C 2. 已知复数，，则（） A. 1 B. C. 2 D. 答案：B 结合复数的运算法则和模长公式即可求解. 解：∵，∴． 故选：B 3. 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为，则其体积为（） A. 28 B. C. 32 D. 24 答案：A 根据正四棱台的性质，结合正四棱台的体积公式进行求解即可. 解：如图所示正四棱台中，是高，连接，设，垂足为， 显然 所以该正四棱台的高为， 正四棱台的体积． 故选：A 4. 设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的止整数，”的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：B 根据等比数列公式计算得到，根据范围大小关系得到答案. 解：，故，即，故， 故“”是“对任意的正整数，”的充分不必要条件． 故选：B 5. 在三棱锥A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC与BD所成角的余弦值为（） A. B. C. D. 答案：C 取，，的中点E，F，G连接，，，由中位线定理可得AC与BD所成角为，由几何关系求出三边，结合余弦定理即可求解. 解：如图，取，，的中点E，F，G连接，，． ∵，，∴（或其补角）即为与所成的角． ∵平面，∴，∴，则， ∵，，． 取的中点，连接，，∴，∴平面， ∴，又， ∴， ∴． ∴与所成角的余弦值为． 故选：C 6. 在中，角的对边分别为，，，且，则的面积为（） A. B. C. D. 答案：B 利用三角恒等变换以及正弦定理和面积公式求解. 解：∵，∴， ， 又∵，，∴，∴， ∴， 因为 ∴，，， ． ∵，∴，∴． 故选:B. 7. 圆台如图所示，为圆的一条直径，为圆弧上靠近点的一个三等分点，若，，则点到平面的距离为（） A. B. C. D. 答案：D 本题首先可连接、、、，由题意易知底面，然后求出三棱锥的体积，再然后设点到平面的距离为，最后通过等体积法即可得出结果. 详解】如图，连接、、、，易知底面， 因为，，所以，， 因为为圆弧上靠近点的一个三等分点，所以，， 因为为圆的一条直径，所以，，， 因为底面，所以三棱锥的体积， 因为是圆的圆心，、、都在圆上，所以， 因为，，，所以， 设点到平面的距离为， 由等体积法易知，解得， 故选：D. 点评：关键点点睛：本题考查点到平面距离的求法，可通过等体积法求解，能否求出三棱锥的体积是解决本题的关键，考查计算能力，体现了数形结合思想，是中档题. 8. 设，，，则（） A. B. C. D. 答案：B 先利用导数证明出，令，可以判断出最小；利用作商法比较出，即可得到答案. 解：设. 因为， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当，且时，，即． 所以，，所以最小， 又因为，所以．综上可知，． 故选：B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 如图，在正方体中，是线段上的动点，则下列结论错误的是（） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 答案：ABD 利用空间向量证明线面平行或垂直关系. 解： 建系如图，设正方体棱长为2， 则 设， 所以设，，所以, 对于A，因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，， 所以平面， 因为，由于，所以与不一定共线，故A错误； 设平面的一个法向量为，, ，令则，所以， 若平面，则，即无解， 所以平面不成立，故B错误； 对于C，设平面的一个法向量为，, ，令则，所以， ， 且平面，所以平面，故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为，, ，令则，所以， 不恒等于0， 所以平面不一定成立，故D错误. 故选:ABD. 10. 在通用技术课上，某小组将一个直三梭柱展开，得到的平面图如图所示．其中，，，是上的点，则在直三棱柱中，下列结论正确的是（） A. AM与是异面直线 B. C. 平面将三棱柱截成一个五面体和一个四面体 D. 的最小值是 答案：ABC 由展开图还原立体图，易判断A项正确；由线面垂直可证B项正确；由切割图易判断C项正确；将侧面图展开，可得当，M，C共线时，有最小值，由勾股定理可判断D项是否正确. 解：由题设，可得