数学物理方程第一章答案.pdf

第一章 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位 置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 满足方程 其中 为杆的密度， 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 与 。现在计算这段杆在时刻 的相对伸 长。在时刻 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 令 ，取极限得在点 的相对伸长为 。由虎克定律，张力 等于 其中 是在点 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为 则作用在杆段 两端的力分别为 于是得运动方程 利用微分中值定理，消去 ，再令 得 若 常量，则得 即得所证。 2 ．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情 况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在 两点则相应的边界条件为 (2)若 为自由端，则杆在 的张力 | 等于零，因此相应的边界条件为 | =0 同理，若 为自由端，则相应的边界条件为 ∣ (3)若 端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数 给 出，则在 端支承的伸长为 。由虎克定律有 ∣ 其中 为支承的刚度系数。由此得边界条件 ∣ 其中 特别地，若支承固定于一定点上，则 得边界条件 ∣ 。 同理，若 端固定在弹性支承上，则得边界条件 ∣ 即 ∣ 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 其中 为圆锥的高(如图1) 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则 点处截面的半径 为： 所以截面积 。利用第1题，得 若 为常量，则得 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线 的微小横振动方程。 解：如图2 ，设弦长为 ，弦的线密度为 ，则 点处的张力 为 且 的方向总是沿着弦在 点处的切线方向。仍以 表示弦上各点在时刻 沿垂直于 轴方向 的位移，取弦段 则弦段两端张力在 轴方向的投影分别为 其中 表示 方向与 轴的夹角 又 于是得运动方程 ∣ ∣ 利用微分中值定理，消去 ，再令 得 。 5. 验证 在锥 0中都满足波动方程 证：函数 在锥 0内对变量 有 二阶连续偏导数。且 同理