数学初中竞赛大题训练：几何专题(含答案).pdf

数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆” 判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、 若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C， D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆． （1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝　55°　； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE的长 ； （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC 上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB ﹣∠BAD＝180°﹣60° ﹣65°＝55°， 故答案为：55°； （2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE， ∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中， ， ∴△ADF≌△DEB （ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝ AD＝2 ； （3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示： ∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK•sin60°＝2 ， ∵AE＝3，AM＝ AB＝2， ∴ME＝3 ﹣2＝1， ∴EK＝ ＝ ＝ ， ∴EF＝ ＝ ＝ ． 2．问题再现： 如图1：△ABC中，AF为BC边上的中线，则S△ABF＝S△ACP＝ S△ABC 由这个结论解答下列问题： 问题解决： 问题1：如图2，△ABC中，CD为AB边上的中线，BE为AC边上的中线，则S△BOC＝S四边形ADOE． 分析：△ABC中，CD为AB边上的中线，则S△BCD＝ S△ABC，BE为AC边上的中线，则S△ABE＝ S△ABC ∴S△BCD＝S△ABE ∴S△BCD ﹣S△BOD＝S△ABE ﹣S△BOD 又∵S△BOC＝S△BCD ﹣S△BOD，S四边形ADOE＝S△ABE ﹣S△BOD 即S△BOC＝S四边形ADOE 问题2：如图3，△ABC中，CD为AB边上的中线，BE为AC边上的中线，AF为BC边上的中线． （1）S△BOD＝S△COE吗？请说明理由． （2）请直接写出△BOD的面积与△ABC的面积之间的数量关系：S△BOD＝　 　S△ABC． 问题拓广： （1）如图4，E、F分 别为四边形ABCD的边AD、BC的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形 ABCD的面积之间的数量关系：S ＝　 　S ． 阴 四边形ABCD （2）如图5，E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AD、BC、AB、CD的中点，请直接写出阴影部分的 面积与四边形ABCD的面积之间的数量关系：S ＝　 　S ． 阴 四边形ABCD （3）如图6，E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AD、BC、AB、CD的中点， 若S ＝1、S ＝1.5、S ＝2、S ＝2.5，则S ＝　7　． △AME △BNG △CQF △DPH 阴 解：问题2：S△BOD＝S△C