数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业).pdf

数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线 的微小横振动方程。 解：如图2 ，设弦长为 ，弦的线密度为 ，则 点处的张力 为 且 的方向总是沿着弦在 点处的切线方向。仍以 表示弦上各点在时刻 沿垂直于 轴方向的位 移，取弦段 则弦段两端张力在 轴方向的投影分别为 其中 表示 方向与 轴的夹角 又 于是得运动方程 ∣ ∣ 利用微分中值定理，消去 ，再令 得 。 5. 验证 在锥 0中都满足波动方程 证：函数 在锥 0内对变量 有 二阶连续偏导数。且 同理 所以 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 =F （0）+G （2x） 令 x+at=0 得 =F （2x）+G(0) 所以 F(x) -G(0). G （x） -F(0). 且 F （0）+G(0) 所以 u(x,t) + - 即为古尔沙问题的解。 8 ．求解波动方程的初值问题 解：由非齐次方程初值问题解的公式得 即 为所求的解。 §3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1) 解：边界条件齐次的且是第一类的，令 得固有函数 ，且 ， 于是 今由始值确定常数 及 ，由始值得 所以 当 因此所求解为 (2) 解：边界条件齐次的，令 得： (1) 及 。 求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。 时，方程的通解为 由 得 由 得 解以上方程组，得 ， ，故 时得不到非零解。 时，方程的通解为 由边值 得 ，再由 得 ，仍得不到非零解。 时，方程的通解为 由 得 ，再由 得 为了使 ，必须 ，于是