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第四版
数值分析习题
第一章 绪 论
1.设x0,x的相对误差为δ,求的误差.
2.设x的相对误差为2%,求的相对误差.
3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效
数字:
4.利用公式求下列各近似值的误差限:
其中均为第3题所给的数.
5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少
6.设按递推公式
( n=1,2,…)
计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差
7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈.
8.当N充分大时,怎样求
9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝
10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.
11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程稳定吗
12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好
13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式
计算,求对数时误差有多大
14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠
15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c 的误差分别为证明面积的误差满足
第二章 插值法
1.根据定义的范德蒙行列式,令
证明是n次多项式,它的根是,且
.
2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.
3.给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 的近似值.
x
lnx
4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h 1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似
值时的总误差界.
5.设,k=0,1,2,3,求.
6.设为互异节点(j =0,1,…,n),求证:
i)
ii)
7.设且,求证
8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取
多少
9.若,求及.
10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).
11.证明.
12.证明
13.证明
14.若有个不同实根,证明
15.证明阶均差有下列性质:
i)若,则;
ii)若,则.
16.,求及.
17.证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,.
20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.
21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.
22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差.
23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.
24.给定数据表如下:
试求三次样条插值并满足条件
i)
ii)
25.若,是三次样条函数,证明
i);
ii)若,式中为插值节点,且,则.
26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式).
第三章 函数逼近与计算
1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.
(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.
2.求证:
(a)当时,. (b)当时,.
3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.
4.假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式.
5.选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一
6.求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
7.求在上的最佳一次逼近多项式.
8.如何选取,使在上与零偏差最小是否唯一
9.设,在上求三次最佳逼近多项式.
10.令,求.
11.试证是在上带权的正交多项式.
12.在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式.
13.设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使
14.设在上,试将降低到3次多项式并估计误差.
15.在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过.
16.是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数
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