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第7 讲 线性表示
题7.1 设向量组α , α , α 是线性相关的, 向量组
1 2 3
α , α , α 是线性无关的.
2 3 4
(1) α 能否由α , α 线性表示? 证明你的结论.
1 2 3
(2) α 能否由α , α , α 线性表示? 证明你的结论.
4 1 2 3
解 (1) α 能够由α , α 线性表示.
1 2 3
因为α , α , α 是线性无关的, 所以α , α 是线性无关的.
2 3 4 2 3
因为α , α , α 是线性相关的, 所以根据定理3.2, α 能够
1 2 3 1
由α , α 线性表示.
2 3
(2) α 不能由α , α , α 线性表示.
4 1 2 3
假设α 能够由α , α , α 线性表示. 因为α 能够由α , α
4 1 2 3 1 2 3
线性表示, 所以α 能够由α , α 线性表示. 于是α , α , α
4 2 3 2 3 4
是线性相关的. 这与题目的条件相矛盾. 因此,
α 不能由α , α , α 线性表示. ▌
4 1 2 3
题7.2 设α , α , α , α 是n元向量. 已知α 能由α , α , α
1 2 3 4 1 2 3 4
线性表示, α 不能由α , α , α 线性表示, 证明α 能由
4 1 2 3 1
α , α 线性表示.
2 3
证明 因为α 能由α , α , α 线性表示, 所以存在常数
1 2 3 4
k , k , k , 使得
1 2 3
α k α k α k α . (1)
1 1 2 2 3 3 4
如果k3 0, 那么由等式(1)可得
1
α (α k α k α ).
4 1 1 2 2 3
k
3
这与α 不能由α , α , α 线性表示相矛盾. 因此,
4 1 2 3
我们有k3 0. 由等式(1)可得
α k α k α .
1 1 2 2 3
这个等式表明α 能由α , α 线性表示. ▌
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