(2.4.1)--第7讲线性表示.pdf

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第7 讲 线性表示 题7.1 设向量组α , α , α 是线性相关的, 向量组 1 2 3 α , α , α 是线性无关的. 2 3 4 (1) α 能否由α , α 线性表示? 证明你的结论. 1 2 3 (2) α 能否由α , α , α 线性表示? 证明你的结论. 4 1 2 3 解 (1) α 能够由α , α 线性表示. 1 2 3 因为α , α , α 是线性无关的, 所以α , α 是线性无关的. 2 3 4 2 3 因为α , α , α 是线性相关的, 所以根据定理3.2, α 能够 1 2 3 1 由α , α 线性表示. 2 3 (2) α 不能由α , α , α 线性表示. 4 1 2 3 假设α 能够由α , α , α 线性表示. 因为α 能够由α , α 4 1 2 3 1 2 3 线性表示, 所以α 能够由α , α 线性表示. 于是α , α , α 4 2 3 2 3 4 是线性相关的. 这与题目的条件相矛盾. 因此, α 不能由α , α , α 线性表示. ▌ 4 1 2 3 题7.2 设α , α , α , α 是n元向量. 已知α 能由α , α , α 1 2 3 4 1 2 3 4 线性表示, α 不能由α , α , α 线性表示, 证明α 能由 4 1 2 3 1 α , α 线性表示. 2 3 证明 因为α 能由α , α , α 线性表示, 所以存在常数 1 2 3 4 k , k , k , 使得 1 2 3 α k α k α k α . (1) 1 1 2 2 3 3 4 如果k3  0, 那么由等式(1)可得 1 α (α k α k α ). 4 1 1 2 2 3 k 3 这与α 不能由α , α , α 线性表示相矛盾. 因此, 4 1 2 3 我们有k3 0. 由等式(1)可得 α k α  k α . 1 1 2 2 3 这个等式表明α 能由α , α 线性表示. ▌

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