高数A习题函数项级数.pptx

高数A习题函数项级数会计学一、 内容总结二、 作业讲析三、 典型例题讲解四、 练习题第1页/共25页 求和展开第2页/共25页一、内容总结(在收敛域内进行)时为数项级数;时为幂级数;为傅氏系数) 时,为傅立叶级数.基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.第3页/共25页2、求幂级数收敛域的方法? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论处的敛散性 .通过换元转化为标准形式? 非标准形式幂级数直接用比值法或根值法难第4页/共25页3、幂级数和函数的求法 ? 求部分和式极限? 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内）? 映射变换法 逐项求导或求积分求和对和式积分或求导求部分和等直接求和: 直接变换,? 数项级数 求和间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值第5页/共25页4、函数的幂级数和傅里叶级数展开法（1）. 函数的幂级数展开法? 直接展开法— 利用泰勒公式— 利用已知展式的函数及幂级数性质? 间接展开法（2）. 函数的傅里叶级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法第6页/共25页二、作业讲析 略第7页/共25页三、典型例题讲解例1. 求下列级数的敛散区间:解:时原级数收敛 .当时,因此级数在端点发散 ,故收敛区间为第8页/共25页因级数收敛;一般项不趋于0,级数发散; 故收敛区间为第9页/共25页例2.解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数注意: ∵ 原级数 =极限不存在∴ 其收敛半径第10页/共25页例3. 求幂级数法1 易求出级数的收敛域为第11页/共25页法2先求出收敛区间设和函数为则第12页/共25页例4. 求下列幂级数的和函数：x≠0解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,而在级数发散,故和函数为第13页/共25页(2)第14页/共25页即得显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = ?1 时,级数也收敛 . 根据和函数的连续性 , 有第15页/共25页例5. 求级数的和 .解: 原式=第16页/共25页展开成 x 的幂级数.例6. 将函数解:第17页/共25页例7. 设, 将 f (x)展开成并求级数x 的幂级数 ,的和. ( 01考研 )解:于是第18页/共25页第19页/共25页例8. 设 f (x)是周期为2?的函数, 它在上的表达式为将其展为傅氏级数 .解答提示第20页/共25页思考: 如何利用本题结果求级数根据傅氏级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有提示:第21页/共25页四、练习题1、选择题第22页/共25页2. 求下列级数的收敛域.3. 求下列幂级数的和函数.第23页/共25页4. 把下列函数展成关于 x 的幂级数.5. 把下列函数在指定点处展成的幂级数.第24页/共25页答案：1.选择题：A B( L. P.395 第三节) ( L.P396,(2) )