高考复习三角形的四心重心内心外心垂心.pptx

高考复习三角形的四心重心内心外心垂心会计学一、 外心第1页/共25页三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。 证明外心定理证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ΔABC外接圆的圆心． 因而称为外心．AAAAAAAOOBBBBCCCCBBBCCC 为内一点，若则 的（???? ） A．内心B．外心C．垂心D．重心 是的三顶点距离相等。到解析：由向量模的定义知的外心?，选B。故是第2页/共25页B点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心 的定义及性质等相关知识巧妙结合。O是的外心 二、垂心第3页/共25页三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。证明垂心定理AAAB′C′E证明: AD、BE、CF为ΔABC三条高， 过点A、B、C分别作对边的平行线 相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′ 的中垂线；同理BE、CF也分别为 A′C′、A′B′的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证．FDBBBCCCA′证：设BE、CF交于一点H，AEFHCDB 垂心第4页/共25页例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高， 求证：AD、BE、CF相交于一点。又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点． 例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:求证：证：设化简：从而 垂心同理：AOBC第5页/共25页1.O是的垂心是△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.第6页/共25页第7页/共25页例3． O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足则P的轨迹一定通过△ABC的 _______解: ∵∴ ∴ 在△ABC的边BC的高AD上.所以，时，P的轨迹一定通过△ABC的垂心. 5. P是△ABC所在平面上一点，若 则P是△ABC的（　 ） A．外心　B．内心　C．重心　D．垂心 垂心第8页/共25页 例4.点O是ΔABC所在平面上一点， 若 ， 则点O是ΔABC的（ ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高线的交点D解:则O在CA边的高线上,同理可得O在CB边的高线上.D三、重心第9页/共25页三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。 证明重心定理AAA E F GBBBCCC D2.在中，给出等于已知AD是中BC边的中线;3. O是的重心为的重心.第10页/共25页是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心.证明: ∵G是△ABC的重心即由此可得（反之亦然（证略））第11页/共25页例1． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心思考： 若O为△ABC外心，G是△ABC的重心，则O为△ABC的内心、垂心呢？证：设∵A, G, D共线，B, G, E共线．∴可设 A F E G B D C 重心第12页/共25页例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．即：AG = 2GD 同理可得：AG = 2GD , CG = 2GF ．另证: A F E G B D C 重心第13页/共25页例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．四、内心第14页/共25页三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明内心定理证明 : 设∠A、∠C的平分线相交于I, 过I作ID⊥BC，IE⊥AC， IF⊥AB，则有IE=IF=ID． 因此I也在∠C的平分线上， 即三角形三内角平分线 交于一点．AAAAA EII F DBBCCBBBCCCAbcOaCB第15页/共25页1.设a,b,c是三角形的三条边长，O是三角形ABC内心的 充要条件是 2. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 内心第16页/共25页B是∠BAC的角平分线上的任意向量，过内心； 　3.已知非零向量 与 满足 则△ABC为（ ） A．三边均不相等的三角形B．直角三角形 C．等腰非等边三角形D．等边三角形　第17页/共25页D解法一：根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理. 不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时 排除其他三个选择项，故答案必选