高数上册连续函数的运算与初等函数的连续性.pptx

会计学1高数上册连续函数的运算与初等函数的连续性 2一、连续函数的四则运算的连续性【定理1】［例 如 ］（上节已证）由函数“点连续”的定义和极限四则运算法则，立得:【推广】有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。【结论】三角函数在其定义域内连续.若f(x) , g(x)在点x0处连续，则f(x)±g(x) ，f(x)g(x) , f(x)/g(x)[g(x0)≠0]在点x0处也连续.第1页/共30页 3二、反函数与复合函数的连续性【定理2】严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数.（证明略）［例如］【结论】反三角函数在其定义域内皆连续. 1. 反函数的连续性第2页/共30页 4【定理3】【证】2、复合函数的连续性第3页/共30页 5将上两步综合起来:【注意】本节定理3是§5定理6（复合函数求极限的法则）的特例，外层函数由原来的极限存在加强为连续。第4页/共30页 6【意义】【例1】【解】可知极限符号 可以与函数符号 f 交换次序;条件是：内层函数极限存在、外层函数在对 应点连续；则可交换次序.同理（即教材例6）利用lnu的连续性第5页/共30页 7【教材例3】【解】可视为由复合而成，则第6页/共30页 8又如交换次序：用arccosu的连续性分子有理化分离无穷小量第7页/共30页 9【定理4】【注意】定理4是定理3的特殊情况.简言之：内、外层函数在对应点都连续，则复合函数连续第8页/共30页 10［例如］是由连续函数链因此在上连续 .复合而成 ,第9页/共30页 11【关系】§5 定理6：内、外层函数极限都存在，则复合函数极限存在.(叙述不严格)本节定理3：内层函数极限存在、外层函数加强为连续，则复合函数极限存在，且极限符号和函数符号可交换次序.本节定理4：内、外层函数都加强为连续，则复合函数也连续（极限存在且等于函数值、极限符号和函数符号可交换次序）.第10页/共30页 12三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.（已证）★★★（指出但不详细讨论）（由【定理2】反函数的连续性可得）第11页/共30页 13【定理5】 基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续 )定义区间是指包含在定义域内的区间.由【定理4】复合函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续【定理6】 第12页/共30页 141.初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;［例如］在这些孤立点的某个去心邻域内没有定义.在0点的某去心邻域内没有定义.【注意】【注意】2.初等函数求极限的方法代入法.则既不是连续点也不是间断点［又如］第13页/共30页 15【例3】【例4】【解】【解】有理化后消去0因子第14页/共30页 16【教材例8】【解Ⅰ】【解Ⅱ】ln(1+2x) ~ 2x (x→0)第15页/共30页 17【补充】则有ln[1+u(x)] ~ u(x) (u(x)→0)第16页/共30页 18【一般地】的函数称为幂指函数若则【注意】①.lim表示自变量的同一变化过程中的极限.（是定式情况下成立）②.不能分两步写作：第17页/共30页 19【思考题】第18页/共30页 20【思考题解答】是它的可去间断点第19页/共30页 21【思考题】第20页/共30页 22【思考题解答】且第21页/共30页 23但反之不成立.［例］但第22页/共30页 24教材习题1—9 P69 第2题 解答【证明】在 点，有且仅有三种情形：第23页/共30页 25又由假设故即由函数极限的局部保号性立知第24页/共30页 26今取故此即则第25页/共30页 27上两式同时成立即【证完】连续第26页/共30页 28四、小结3.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.2.两个定理（3、4）;两点意义.1.基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续【说明】 分段函数在分界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 第27页/共30页 29【思考题】第28页/共30页 30【思考题解答】是它的可去间断点第29页/共30页