高数D隐函数求导.pptx

高数D隐函数求导会计学(含导数 的方程)第1页/共23页一、隐函数的导数若由方程则称此可确定 y 是 x 的函数 ,函数为隐函数 .由表示的函数 , 称为显函数 .把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．可确定显函数例如,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )第2页/共23页确定的隐函数例1. 求由方程在 x = 0 处的导数解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故第3页/共23页在点处的切线方程.例2. 求椭圆解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即第4页/共23页的导数 . 例3. 求解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导按指数函数求导公式按幂函数求导公式第5页/共23页说明: 1) 对幂指函数可用对数求导法求导 :注意:第6页/共23页2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如,两边取对数两边对 x 求导第7页/共23页又如, 两边取对数对 x 求导二、由参数方程确定的函数的导数第8页/共23页可确定一个 y 与 x 之间的函数若参数方程关系,可导, 则时, 有当单调且时, 有(此时把 x 看成是 y 的函数 )第9页/共23页若上述参数方程中且二阶可导,则由此参数方程所确定的函数可求二阶导数 .,可得利用新的参数方程记对谁求导?第10页/共23页?已知注意 : 例4. 设求, 且解:练习: 书P112 题8(1)解:第11页/共23页例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 ? 为切线倾角,则第12页/共23页抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量速度的方向在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为高度达到最高点的时刻抛射最远距离落地时刻第13页/共23页 三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率第14页/共23页例6. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,问此时当气球高度为 500 m 时, 其速率为观察员视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为? ,则两边对 t 求导已知 h = 500m 时,今以 自顶部向容器内注水 ,第15页/共23页例7. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速度.水的解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,体积为 V , 则两边对 t 求导而故第16页/共23页内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数转化极坐标方程求导3. 参数方程求导法求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式第17页/共23页思考与练习1. 求螺线在对应于的点处的切线方程.解: 化为参数方程点击图中任意处动画播放\暂停当时对应点斜率∴ 切线方程为第18页/共23页2. 设求提示: 分别用对数微分法求答案:第19页/共23页3. 设由方程确定 , 求得解:方程两边对 x 求导,①再求导, 得②当故由 ① 得时,再代入 ② 得第20页/共23页作业P111 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12第五节 等式两边同时对 求导第21页/共23页备用题求其反函数的导数 .1. 设方法1解:方法2第22页/共23页2. 设, 求解：方程组两边同时对 t 求导, 得运行时, 点击白色图片任意处, 可控制动画播放或暂停.