《向量的基本关系》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docxVIP

PAGE PAGE 6 第二章 平面向量及其应用 2.1.2 向量的基本关系 教学目标 教学目标 1．能从物理学和几何背景中抽象概括出向量的概念； 2．通过对向量的基本关系的探究，体会用类比的思想研究问题； 3．经历概念的形成过程，感受舍去物理属性，得到数学研究对象的数学抽象，感受数学和物理学科的内在联系． 教学重难点 教学重难点 教学重点：向量的基本关系． 教学难点：向量的基本关系的探究和理解过程． 教学过程 教学过程 一、新课导入 情景：猫与老鼠 一只老鼠和一只猫相距16米，老鼠以每秒4米的速度从B点向正东奔跑，猫以每秒7米的速度从A点向正东追． 问题1：猫能否追上老鼠？ 答案：能追上，因为它们的方向相同，猫的速率大于老鼠的速率． 追问：若猫的速度记为v1，老鼠的速度记为v2，那么v1和v2有什么关系？ 答案：v1和v2为共线向量． 设计意图：通过生活中的实例，让学生感知、了解，进而自主生出向量之间的关系新概念．提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力． 二、新知探究 问题2：物理中“两个物体运动速度相等”是两个矢量间的相等关系，是指它们的方向相同、大小相等．观察方格图，在数学上如果是两个向量，你能“定义”这种相等关系吗?根据是什么？ 答案：能，根据两个向量的大小和方向． 追问1：若两个有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量相等吗?若相等，那么代表相等向量的有向线段与起点位置有关吗?请举例说明． 答案：相等向量是指它们的大小相等且方向相同，向量a与b相等，记作a＝b．若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量是相等的．代表相等向量的有向线段与起点位置无关．例如图中：eq \o(AB,\s\up6(→))=EF,PQ=MN． 追问2：方格图中，向量a与eq \o(AB,\s\up6(→))，CD与eq \o(AB,\s\up6(→))，a与CD相等吗?从方向上看，它们之间形成了怎样的特殊关系? 答案：向量a与eq \o(AB,\s\up6(→))方向相同但大小不等，CD与eq \o(AB,\s\up6(→))方向相反且大小不等，a与CD方向相反但大小相等．所以从方向上看，它们之间形成了方向相同或相反的特殊关系，且它们所在的直线平行或共线． 追问3：如果任作一条与向量a所在直线平行的直线l，并在l上任取一点O，以点O为起点作有向线段OR，OS，分别等于向量a，eq \o(AB,\s\up6(→))，可行吗?如果可行，请据此说明“两个向量平行或共线”与“两条线段平行或共线”的区别与联系． 答案：可行．“两个向量平行或共线”只需这两个向量方向相同或相反，可以在也可以不在同一条直线上； 而“两条线段平行或共线”指平行则不共线，共线则不平行． 问题3：我们发现图中向量a与CD是特殊的共线向量，特殊之处是什么?能否起个名字并定义它? 答案：向量a与CD的方向相反且大小相等，类比“实数中符号相反且绝对值相等的两个数叫作相反数”，我们把这两个向量叫作相反向量． 追问1：作为向量集合中的特殊向量零向量，它与其他向量共线吗?它有相反向量吗? 答案：由零向量的定义可知，它的长度为零，任何一个方向都可以作为它的方向，所以零向量与任一向量a共线，即 0 // a．零向量的相反向量仍是零向量． 问题4：方格图中，向量a与b，a与GH是相等向量吗?是共线向量吗?它们所在的直线有何关系? 答案：既不是相等向量也不是共线向量．它们所在的直线都相交，但所成角不同． 归纳新知： 相等向量：相等向量是指它们的大小相等且方向相同，向量a与b相等，记作a＝b． 共线向量：若两个非零向量a与b方向相同或相反，则这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行．记作 a // b．由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定零向量与任一向量a 共线． 相反向量：若两个向量的大小相等、方向相反，则称它们是互为相反的向量．相反向量是共线向量．若其中一个向量为a ，则它的相反向量记作?a．由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定零向量的相反向量仍是零向量． 向量的夹角：已知两个非零向量a与b，如图： 作OA=a，OB=b，则θ=∠AOB (0°?θ?180°)称为向量a与 当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向；当θ=90°?时，a与b垂直，记作 由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定零向量可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a． 设计意图：类比直线(段)的基本关系认识向量的基本关系，促进学生自主建构相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量、向量的夹角的概念，引导学生参与概念的定义过程中，使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物． 【概念辨析】 思考辨析，判断正误 (1)单位向量一定是相等向量．(