《建筑物高度的测量》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

第三章?数学建模活动（二） 3.1建筑物高度的测量 教学目标 教学目标 1．运用所学知识解决实际测量的高度问题，掌握数学建模活动的完整过程． 2．通过数学建模活动，培养数学知识应用能力和创新意识，提升数学建模核心素养． 教学重点 教学重点与难点 重点： 1．能够利用或建立解三角形模型解决关于高度测量的实际问题． 2．了解数学建模的基本过程． 难点：能够利用或建立解三角形模型解决关于高度测量的实际问题． 教学过程 教学过程 一、导入新课 1．发现问题，提出问题 问题1：在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量． 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由． 师生活动：学生思考，找出解决问题的方法． 设计意图：培养学生提出问题． 二、新知探究 2．分析问题、建立模型 问题2：图中角楼的高度问题可以转化为用米尺与测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距离？ 师生活动：学生思考，教师完善． 预设的答案：利用正、余弦定理解三角形问题． 设计意图：培养学生分析解决问题． 追问1：测量底部不能到达的建筑物的高度时，往往需要在经过建筑物底部的水平面内引一条基线．当基线CD与建筑物AB在同一铅垂面内时，如图所示，需要测量哪些数据？ 如何计算该建筑物的高度？ 师生活动：学生思考，找出解决问题的方法． 预设的答案：测量出基线CD的长及在C，D处建筑物AB顶部点A的仰角的度数， 在Rt△ABD中，BD＝eq \f(AB,tan∠ADB)， 在Rt△ABC中，BC＝eq \f(AB,tan∠ACB)， 所以a＝CD＝BC－BD＝eq \f(AB,tan∠ACB)?eq \f(AB,tan∠ADB)， 故AB． 方法总结：解三角应用题的一般步骤． ①准确理解题意，分清已知和所求，尤其要理解应用题中的名词和术语； ②画出示意图，并在图形中标注出已知条件； ③若已知量与未知量涉及多个三角形，则需要利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形作答． 设计意图：培养学生分析解决问题． 追问2：当基线CD与建筑物AB不在同一铅垂面内时，如图所示，需要测量哪些数据 如何计算该建筑物的高度？ 师生活动：学生思考，找出解决问题的方法． 预设的答案：测量出基线CD的长及在C处建筑物AB顶部点A的仰角的度数，在△BCD内，测量出∠BCD与∠BDC的度数． 在△BCD中，BC＝eq \f(a,sin(∠BCD＋∠D))×sinD， ∵AB⊥BC，∴∠BAC＝eq \f(π,2)－∠ACB， ∴在△ABC中，AB＝eq \f(BC,sin∠BAC)×sin∠ACB＝eq \f(BC,cos∠ACB)×sin∠ACB， ∴AB＝＝． 方法总结：测量高度时，要准确理解仰角、俯角的数学含义.它是将实际问题转化为数学问题的关键. 设计意图：培养学生分析解决问题． 3．确定参数、计算求解 如图（1）所示，设线段AB表示不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量．用测量角度的仪器可以测量出∠ACB的大小α，但是因为点A，B都不便到达，所以△ABC的3条边都无法用米尺测量． 如图（2）所示，在可到达的地方再选定一点D，并使得CD的长m能用米尺测量． 用测量角度的仪器测出∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ACD＝θ，∠ADC＝φ； 然后利用α，β，γ，θ，φ以及m即可求出AB的长． 首先，在△BCD中，因为∠CBD＝π－β－γ， 所以由正弦定理可得eq \f(m,sin(π－β－γ))＝eq \f(BC,sinγ)，因此BC＝eq \f(msinγ,sin(β＋γ))； 同理，从△ACD可得AC＝eq \f(msinφ,sin(θ＋φ))； 最后，在△ABC中，根据AC，BC，α，利用余弦定理就可以得出AB的长． 设计意图：培养学生建立模型，解决问题． 4．验证结果、改进模型 以上给出一个测量小组的测量结果，与其他测量小组的比较，分析产生误差的原因，改进测量方法，使测量误差更小． 设计意图：培养学生分析模型，选出最优模型解决问题． 三、课堂练习 1．如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法． 设计意图：通过习题的演练，能让学生更加明确测量建筑物高度的方法． 2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，求电视塔的高度． 设计意图：通过习题的演练，能让学生更加明确测量建筑物高度的方法． 3．为了测量两