《简单几何体的再认识(1)》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docxVIP

第六章 立体几何初步 6.6 简单几何体的再认识(1) 教学目标 教学目标 1.使学生能够了解柱、锥、台体的侧面积公式并运用公式求解柱、锥、台体的侧面积以及柱、锥的体积； 2.经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化与化归的能力； 3.激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性． 教学重难点 教学重难点 教学重点：柱、锥、台体的侧面积公式的由来与计算；柱、锥体的体积公式与计算． 教学难点：展开图与空间几何体的转化． 教学过程 教学过程 一、新课导入 情境：有1000个这样的圆柱，现在想给它涂上一个漂亮的颜色，假如每平方米需要油漆0.1千克，那么一共需要多少千克的油漆呢？ 解决这个问题的关键是什么？在于计算圆柱的表面积，而圆柱的表面积等于两个底面面积加上侧面的面积，而圆柱的侧面是曲面，如何计算圆柱的侧面（曲面）的面积呢？ 今天我们就来学习曲面转化为平面的思想方法在柱、锥、台体侧面积的计算上的应用． 设计意图：通过学生们熟悉的圆柱体进行导入，给出“曲面转化为平面”的思想在此类问题中的妙用，引导学生后面对锥体、台体侧面展开上的应用． 二、新知探究 问题1：已知圆柱的底面半径为r与高为l，如何计算圆柱的侧面积与表面积？ 分析：通过对情境中问题的思考，我们已经知道圆柱的表面积等于两个底面面积加上侧面的面积，而圆柱的侧面是曲面，能否把曲面转化为平面来计算面积呢？怎么转化呢？ 追问1：把圆柱的侧面沿一条母线展开，得到的是什么图形？ 答案：矩形． 追问2：矩形的长和宽分别是什么？ 答案：矩形的长是圆柱底面圆的周长；宽是圆柱的高． 已知圆柱底面圆的半径为r，高为l，则圆柱的侧面积和表面积分别为：S 问题2：已知圆锥的底面半径为r与母线长为l，如何计算圆锥的侧面积和表面积？ 追问1：把圆锥的侧面沿一条母线展开，得到的是什么图形？ 答案：扇形． 追问2：扇形的半径和弧长分别是什么？ 答案：扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是底面圆的周长． 已知圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积和表面积分别为：S 问题3：已知圆台的两个底面半径分别为r1，r2，母线长为 分析：可先将圆台还原成圆锥再展开侧面，圆台的侧面展开图是扇环，扇环面积即两扇形面积之差． 答案：由相似性可知，xx+l=r S侧面积 S 小结1：圆柱、圆台、圆锥的侧面展开与侧面积 S圆柱 其中r为圆柱、圆锥底面半径，r1、r2分别为圆台上、下底面半径，l为母线的长． 思考：观察圆柱、圆锥、圆台及其侧面积的计算公式，三者之间有什么关系？ 答案：圆柱可以看作是上底面与下底面相等的圆台，即r1=r 问题4：类似地，如何计算直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积？ 分析：将直棱柱沿一条侧棱展开，侧面可展为一矩形； 将正棱锥沿一条侧棱展开，侧面可展为四个全等的等腰三角形； 将正棱台沿一条侧棱展开，侧面可展为四个全等的等腰梯形． 答案：S直棱柱侧=ch，S正棱锥侧=4×12×14c?h=12 追问：对于一般的棱柱、棱锥、棱台，如何计算它们的侧面积？ 答案：对于一般的棱柱、棱锥、棱台，其侧面就是一般的平行四边形、三角形、梯形，分别计算各侧面面积再相加即可. 思考：将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行类比，能发现它们的联系和区别吗？ S 答案：直棱柱可以看作是上底面周长与下底面周长相同的棱台，即c1=c 想一想：如图，长宽高分别为a、b、h的长方体体积如何计算？ 答案：V长方体=abh=S底 猜想：对于一般的棱柱，体积该如何计算？ 答案：V棱柱=Sh．其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高．由祖暅原理知，该公式对圆柱同样 问题5：如图，三棱柱ABC-A′B′C′中，连接A′C、A′B、B′C，得到三个三棱锥A′-ABC、C-A′B′C′、A′-BCB′，比较其体积V1、V2、V3的大小. 答案：不妨设三棱柱的高为h，点A′到BCC′B′的距离为h′， 由图可知，三棱锥A′-ABC、C-A′B′C′等底同高（高为h），故V1 三棱锥C-A′B′C′、A′-BCB′等底同高（高为h′），故V2 故V1 追问：由此你能得出什么结论？ 答案：棱柱的体积是与它同底等高的棱锥体积的3倍，V棱锥= 小结3：柱体、锥体的体积 V柱体=Sh，V锥体=13 三、应用举例 例1 一个圆柱形的锅炉，底面直径d=1 m，高h=2.3 m，求锅炉的表面积（精确到 0.1 m2）. 分析：注意直径是半径的两倍，计算表面积要在侧面积的基础上加底面积的两倍. 解：S 因此，锅炉的表面积约为8.8 m 例2 圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留π） 分析：利用扇环圆心角，可求SA、SB长，作差可得母线长，进而可求侧面积.