《直线与平面垂直(1)》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docxVIP

第六章 立体几何初步 6.5.1直线与平面垂直（1） 教学目标 教学目标 1.理解和掌握线面垂直的定义、性质定理及线面夹角的定义； 2.理解线线垂直、线面垂直和线线平行间的相互转化； 3.通过启发引导，让学生在探索中寻找真理，培养学生勇于探索，敢于创新的精神． 教学重难点 教学重难点 教学重点：线面垂直的性质定理． 教学难点：线面垂直的性质定理的应用． 教学过程 教学过程 一、新课导入 情境：观察下列各组图片，这些图片都给我们什么样的印象呢？ 答案：直线与平面垂直． 设计意图：通过生活中线面垂直的实例，给学生以线面垂直的直观印象，方便后面的学习． 二、新知探究 问题1：观察，天安门广场的旗杆与底面垂直，旗杆所在直线与其在地面的影子所在直线是什么关系呢？ 答案：垂直． 追问1：随着时间的变化，影子的位置会移动，旗杆与影子的位置关系是否发生变化？ 答案：不变，仍然垂直． 追问2：旗杆与地面的其他不相交直线是什么关系呢？ 答案：异面垂直． 追问3：旗杆与地面上的任意直线都垂直吗？ 答案：是的（相交垂直或异面垂直）． 同学们，尝试用线线垂直来定义线面垂直吧！ 一般地，如图，如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直.记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足． 【概念巩固】 1：如果直线l与平面α内的无数条直线都垂直，那么直线l与平面α垂直吗？ 答案：不一定． 2：如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，那么直线l与平面α垂直吗？ 答案：垂直． 注意：“任何一条直线”与“所有直线”等价，但与“无数条直线”不同． 思考：（1）过空间一点有几条直线和已知平面垂直？ 过空间一点有几个平面与已知直线垂直？ 答案：（1）有且只有一个； （2）有且只有一个． 问题2：我们知道，在平面内，如果两条直线同垂直于另一条直线，那么这两条直线平行．这个性质能推广到空间吗？ 探究：（1）如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，四条侧棱AA′、BB′、CC′、DD′与底面ABCD是什么关系？ 答案：垂直． （2）四条侧棱AA′、BB′、CC′、DD′之间是什么关系？ 答案：互相平行． （3）平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.此性质能推广到空间吗？ 答案：猜想：垂直于同一平面的两直线平行． 下面我们证明此猜想是否成立． 已知：a⊥α，b⊥ 求证：a∥b. 证明：假定a与b不平行，则过点B作a的平行线b′，b′与b不重合. ∵b∩b′=B，∴直线b与b′确定一个平面，记为β，且记α∩β=l. ∵a⊥α，b⊥α，∴b⊥l，a⊥l． 又b′∥a，∴b′⊥l． 此时，在平面β内，经过直线l上同一点B就有两条直线b与b′都与l垂直，这与“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾． ∴a∥b. 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行． 符号语言：若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 作用：此定理揭示了“平行”与“垂直”间的一种联系，可以用此定理判定两直线平行. 追问：目前为止，我们学了哪些定理可以判定线线平行？ 答案：线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理. 思考：（1）在证明直线与平面垂直的性质定理时，用到了“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”，那么，在空间内，过直线上的任意一点有多少条直线与已知直线垂直？这些直线之间有什么关系？ （2）两异面直线能否垂直于同一平面？ 答案：（1）在空间内，过直线上的任意一点有无数条直线与已知直线垂直，这些直线都在同一平面内，且相交于一点． （2）不能．若两直线垂直于同一平面，则这两条直线平行，不可能异面． 问题3：前面我们已经学习了点到平面的距离，即，从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离．那么，直线与平面的距离如何定义呢？ 答案：直线到平面的距离：如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离． 追问：如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离有什么关系？为什么？ 猜想：如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离均相等． 下面对猜想进行验证： 已知：直线l与平面α平行. 求证：直线l上的各点到平面α的距离相等． 解：过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线，垂足分别为E，F. ∵AE⊥α，BF⊥α，∴AE∥EF． 设过直线AE和BF的平面为β，则α∩β=EF. ∵l∥α，∴l∥EF． ∴四边形AEFB是平行四边形． ∴AE=BF，即直线l上的各点到平面α的距离相等． 问题4：直线与平面之间的位置关系有哪些？线面垂直属于哪一类？ 答案：线在面内，线面相交，线面平行.线面相交还可细分为两类