《三角函数的简单应用》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docxVIP

第一章 三角函数 1.8 三角函数的简单应用 教学目标 教学目标 1．对一些简单的周期变化，能够选择适当的三角函数模型，用来刻画和解决实际问题； 2．通过解决周期变化的数学应用过程，进一步掌握数学建模的方法，提高数学建模的能力． 教学重难点 教学重难点 重点：利用所学的三角函数的相关知识，解决具有周期变化规律的水车问题． 难点：利用数学知识解决实际问题． 教学过程 教学过程 一、新课导入 现实世界和生产生活中，存在着大量的周期变化的现象．例如，单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y=Asinωx+φ，其中x表示时间，y表示位移，A表示振幅， 如图是单摆的示意图，点O为单摆的平衡位置，如果规定摆球向右偏移的位移为正，则当摆球到达点C时，摆球的位移y达到最大值A；当摆球到达点O时，摆球的位移y为0；当摆球到达点D时，摆球的位移y达到反方向最大值-A；当摆球再次到达点O时，摆球的位移y又一次为O；当摆球再次到达点C时，摆球的位移y又一次达到最大值A．这样周而复始，形成周期变化． 由此我们不难体会到周期变化现象是自然界中常见的现象之一，而三角函数是研究周期变化现象的重要数学模型，在这一节里，我们将通过实例，初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题． 新知探究 （水车问题）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具．如图，是一个水车工作示意图，设水车（即圆周）的直径为3m，其中心（即圆心）O到水面的距离b=1.2m，逆时针匀速旋转一周的时间是43 min．水车边缘上的一点P距水面的高度为h(单位：m) 问题1：求h与旋转时间t(单位：s)的函数解析式，并画出这个函数的图象． 答案：设点P在水面上时的高度为0，当P点旋转到水面以下时，点P距水面的高度为负值． (1)过点P向水面作垂线，交水面于点M，PM的长度为点P的高度h．过水车中心O作PM的垂线，交PM于点N，设点Q为水车与水面交点，∠QON=φ．由已知，水车的半径R=1.5m；水车中心到水面的距离b=1.2m；水车旋转一周的时间T=43 min=80s，转速为ω= 不妨从水车与水面交点Q开始计时(t=0)，旋转t s水车转动的角的大小为α，即 ∠QOP=α= 从图中不难看出： h= 因为sinφ=1.21.5 h≈1.5 这就是点P距水面的高度h关于时间t的函数解析式． 找出使π40t-0.295π取0，π2，π，3π2 t 11.8 31.8 51.8 71.8 91.8 h 1.2 2.7 1.2 -0.3 1.2 问题2：当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？ 答案：当雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，导致函数解析式中的参数b发生变化．水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大．如果水车转速加快，将使周期T减小，转速减慢则使周期T增大． 应用举例 1．下面是一份某旅游城市某年的月平均气温统计表． x（月） 1 2 3 4 5 6 t（℃） 17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 x（月） 7 8 9 10 11 12 t（℃） 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8 (1)根据这个统计表提供的数据，为该城市的月平均气温做一个函数模型； (2)当月平均气温不低于13.7 ℃时，该城市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定该城市的最佳旅游时间． ? 答案：(1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得到如图所示曲线． 由于该城市月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，根据散点图所绘制的图象， 我们可以考虑用t= 因为最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃， 所以A=17.9-9.52=4.2，k= 为x=2时t取得最大值，所以cos 所以2π6+φ 所以t=4. = 2 \* GB2 ⑵如图所示，作直线t＝13.7，与函数图象交于两点（5，13.7），（11，13.7）． 由图可得该年1~5月份和11~12月份的月平均气温不低于13.7 ℃，是该城市的最佳旅游时间． 课堂练习 1．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是 （　　） A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为-5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 　　 2．某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律变化． = 1 \* GB2 ⑴求出这种昆虫种群数量y（单