《平面与平面垂直(1)》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

第六章 立体几何初步 6.5.2平面与平面垂直（1） 教学目标 教学目标 1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小； 2.理解两平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用； 3.通过对二面角和平面与平面垂直定义的理解，培养学生数学抽象素养； 4.通过应用平面与平面垂直的性质定理，培养学生逻辑推理素养． 教学重难点 教学重难点 教学重点：二面角的概念及求法，面面垂直的定义和性质定理． 教学难点：面面垂直的性质定理的应用． 教学过程 教学过程 一、新课导入 情境：观察下列各组图片，这些图片都给我们什么样的印象呢？ 答案：平面与平面相交． 为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度．为此，我们需要研究两个平面所成的角． 设计意图：通过生活中面面相交的实例，给学生以面面相交的直观印象，方便后面的学习． 二、新知探究 问题1：随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？ 答案：引入平面与平面的夹角——二面角. 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.如图，以直线AB（l）为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α-AB-β或α-l-β. 问题2：日常生活中，我们常说：“把门开的大一些”是指哪个角大一些？ 答案：如图，∠AOB、∠CDE等 追问1：受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？ 答案：用平面角的大小来刻画二面角的大小： 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角.如图中的∠AOB就是二面角α-l-β的平面角. 平面角是直角的二面角称为直二面角. 说一说：教室的墙面与地面构成二面角，分别指出构成二面角的面、棱、平面角及其度数. 答案：二面角的面：墙面和地面；二面角的棱：墙面与地面的交线；二面角的平面角：如图，∠AOB；∠ 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β. 【概念巩固】 （1）二面角的平面角的大小，与棱上点的选择是否有关？ （2）二面角的棱与其平面角所在平面之间是什么关系？ （3）二面角的取值范围是多少？ 答案：（1）如图，∠AOB是二面角α-l-β的平面角，在l上任取一异于O的点O′，分别作A′O′和B′O′与l垂直， ∵A′O′⊥l，AO⊥l，∴AO∥A′O′，同理BO∥B′O′. 又∠AOB与∠A′O′B′方向相同，∴∠AOB=∠A′O′B′. 故二面角的平面角的大小，与棱上点的选择无关. （2）如图，∠AOB是二面角α-l-β的平面角， ∴AO⊥l，BO⊥l， 又AO∩BO=O，AO?α，BO?β， ∴l⊥平面ABO. （3）[0°，180°].当平面角为0°时，两半平面重合；当平面角为180°时，两半平面共面，组成了一整个平面. 问题3：在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？怎么画？ 探究：不妨设黑板所在平面为α，地面所在平面为β，它们的交线为l.显然，α⊥β. 答案：在平面α内作直线m⊥l，则m⊥β． 问题4：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，那么直线A1A与平面ABCD垂直吗？ 答案：垂直． 追问1：平面A1ADD1内还有哪些直线与平面ABCD垂直？ 答案：D1D，其它与AD垂直的直线． 追问2：根据前面我们的探究，你能猜想面面垂直有什么性质吗？ 答案：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 下面我们证明此猜想是否成立． 已知：α⊥ 求证：AB⊥ 证明：在平面α内作直线BC⊥MN， 则∠ABC是二面角α-MN-β的平面角. ∵α⊥β， ∴∠ABC=90°，即AB⊥BC. 又AB⊥MN，BC∩MN=B，BC?α，MN?α， ∴AB⊥α. 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 符号语言：若α⊥β， 注意：运用定理时三个条件缺一不可：①“面面垂直”，α⊥β；②“线在面内”，AB?β；③“线线垂直”， 作用：此定理揭示了由“面面垂直”可以推出“线线垂直”. 三、应用举例 例1 如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100 m后升高多少米？（精确到0