《复数的概念及其几何意义》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

第五章 复数 5.1复数的概念及其几何意义 教学目标 教学目标 1.通过理解数系的扩充过程，掌握复数的基本概念，并能理解复数的几何意义； 2.回顾数系的每一次扩充，体会为什么要引人复数，并通过学习复数的几何意义，领悟数形结合的数学思想； 3.利用复数的定义解决负数开平方的问题； 4.激发学生的创新意识，积极参与数学学习活动，增强对数学的好奇心和求知欲． 教学重难点 教学重难点 教学重点：复数的概念及复数的几何意义． 教学难点：复数的引入，理解复数引入的必要性以及复数与复平面及向量的一一对应关系． 教学过程 教学过程 一、新课导入 情境：我们知道，对于实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0，当△= 例如，求解x3=15x+4时，利用三次方程的求根公式可以得出三个根x=-2±3或x=32+-121+32- 设计意图：通过复习回顾数集的扩展，激发学生的好奇心与求知欲，为本节课的学习做好准备. 二、新知探究 问题1：我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系．回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？ （1）在自然数集中求方程x+1=0的解； （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； （3）在有理数集中求方程x2-2=0 （4）在实数集中求方程x2 答案：（1）从社会实践来看，数系的扩充是为了满足生活和生产实践的需要． 计数的需要产生了自然数，有了自然数系；自然数系中不能刻画具有相反意义的量，于是引入了负整数，将自然数系扩充到了整数系；整数系中不能解决测量中的一些等分等问题，于是引入了分数，将整数系扩充到了有理数系；有理数系中无法解决边长为1的正方形对角线长的度量等问题，于是引入了无理数，这样便将有理数系扩充到了实数系． （2）从数学发展本身来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要． 方程x+1=0在自然数集N内无解，引入负整数后，它在整数集Z内便有解x=-1；方程2x-1=0在整数集Z内无解，引入分数后，它在有理数集Q内便有解x=1 方程x2-2=0在有理数集Q内无解，引入无理数后，它在实数集R内便有解 方程x2+1=0在实数集 自然数集 自然数集N 整数集Z 实数集R 有理数集Q 引入 负整数 引入 分数 引入 无理数 问题2：方程x2 答案：可以添加新数，对实数集进行扩充，并且添加新数后的新的数集中的加法与乘法运算，与实数集中加法与乘法运算协调一致，并且运算律保持不变． 追问：引入一个什么样的数呢？ 答案：历史上，瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出了“新数i”，叫做虚数单位，并规定： （1）i2=-1，这样 （2）实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． 问题3：把新引进的数i添加到实数集后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充，那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成？ 答案：新数集中的数是由原来的实数和新引入的虚数i进行运算构成的．把实数a与新数i相加，得到a+i；把实数b与新数i相乘，得到bi；把实数a与实数b与i相乘的结果相加，得到a+bi．比如：3i，1+i 追问1：你能写出一个形式，把前面提到的数都包含在内吗？ 答案：所有新数集中的数都可以写成a+bi（a，b∈R）的形式，因为a=a 我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数．通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），其中a称为复数z的实部，记作 追问2：你能写出新数集的集合吗？ 答案：全体复数构成的集合为{a+bi|a 追问3：复数集C与实数集R有什么关系呢？ 答案：对于复数z=a+bi（a，b∈R），当且仅当b=0时，它是实数，当且仅当a=b=0时，它是实数0，当b≠0时，叫做虚数，当 复数实数（ 复数 实数（b=0 虚数（b≠0）（当a 显然实数集R是复数集C的真子集，即R? 思考：你能写出自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R和复数集C的关系，并用Venn图表示吗？ 答案：自然数集包含于整数集，整数集包含于有理数集，有理数集包含于实数集，实数集包含于复数集（N?Z?Q?R?C），事实上，这里的包含于符号，也都可以换成真含于的符号，就是说左边的集合都是右边集合的真子集． 问题4：我们知道复数集是由形如a+bi（a，b∈R）的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，那么，两个复数a+b 答案：复数由实部和虚部唯一确定，所以判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等．所以，复数a+bi与c+d 应当注意：两个实数可以比较大小，但是两个负数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等．例如，2+