《直线与圆的位置关系（2）》示范公开课教案【高中数学北师大】.docxVIP

《直线与圆的位置关系（2）》教案 教学目标 教学目标 1. 能熟练对直线与圆的位置关系进行判断。 2. 会进行圆切线的判定。 3. 掌握求圆的切线的方法。 4. 能解决与弦长有关的问题。 5. 掌握直线与圆的综合问题。 教学重难点 教学重难点 重点：求弦长问题。 难点：直线与圆的综合问题。 教学过程 教学过程 一、新课导入 回顾：如何判断直线与圆的位置关系？ 即直线Ax+By+C=0与圆x-a 生回顾思考 答案：（1）两种方法进行判定：几何法和代数法。 位置关系 公共点个数 几何法判定 代数法判定 相交 2 dr ?0 相切 1 d=r ?=0 相离 0 dr ?0 （2）代数法与几何法的优缺点：代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法；应用几何法还可以求出圆上有4个，3个，2个，1个， 0个点到直线的距离等于某一定值的情况，因此几何法的适用面更广些。 思考：作为直线与圆相切、相交的位置关系，如何来求圆的切线、相交的弦长等？本节课我们就来探讨这些问题。 生思考，师引出本节课题：《直线与圆的位置关系（2）》。 设计意图：回顾上节课所学，加深对对直线与圆的位置关系的理解，为本节课求圆切线、弦长等问题做铺垫。 二、新知探究 探究一： 求圆的切线的方法。 生思考、回顾以前所学 分析： （1）求过圆上一点（x0,y0） （2）求过圆外一点（x0,y0）的圆的切线方程：几何法：设切线方程为 代数法：设切线方程为y-y0=k(x- 小结：求过一点P的圆的切线方程的问题需要注意：（1）先判断点P和圆的位置关系。若点P在圆上，切线有一条；若点P在圆外，切线有两条。（2）在求切线的过程中，要注意讨论斜率不存在的情况。 探究二： 求切线段的长度。 分析： （1）从圆外一点P（x0,y （2）从圆外一点P（x0,y 探究三：求直线与圆相交时弦长。 分析： 方法1：如图所示，直线l与圆C交于A,B两点，设弦心距为d， 圆的半径为r，弦长为|AB|，则有 AB=2 方法2：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆 的两交点分别是Ax AB=x =1+ 小结：几何法比代数法运算量小，也比较直观、简单，故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题。 设计意图：通过探究活动，让学生体验探索直线与圆的位置关系的过程，加深对直线和圆的三种位置关系判定的理解。 三、应用举例 例1：已知直线l经过O（0，0），且与圆C：x 解法1：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=0，代入圆C的方程得y-32 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx x 将 eq \o\ac(○,2)代入 eq \o\ac(○,1)消去y并整理，得k2+1x2-23k+1 由直线与圆相切可得方程 eq \o\ac(○,3)有两个相等的实数根，所以 ?=4 2 解得k 故所求直线l的方程为y=12 解法2 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆心C（1，3）到直线l的距离为1 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即 由相切条件可得d=|k- 解得k 故所求直线l的方程为y=12 例2：已知圆C： （1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程。 （2）求满足|PM 解：（1）把圆C的方程化为标准方程为x+1 所以圆心为（- eq \o\ac(○,1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1满足条件。 eq \o\ac(○,2)当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l:y-3=kx-1,即kx 由题意，得|-k-2+3-k 所以l的方程为3 综上得，满足条件的切线l的方程为x=1或 （2）设P（x,y），因为 整理得2 即点P得轨迹方程为2x 例3：已知直线m:3x+4y-2=0与圆 （1）写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形； （2）由（1）所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明。 解：（1）将圆的方程化为标准方程，得x-12+y-1 （2）因为圆心P到直线m的距离d=|3+4-2|32+42=12，所以直线m与圆P相交。设交点为A,B，圆P的半径为r（如上图2所示），易知?PAB 所以由勾股定理得，AB 故直线m被圆P截的弦长为2. 小结：1.用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形。2.直线与圆相切用几何法列式计算比较简单不用代数法(判别式法)。3.求动点P的轨迹方程要用坐标变量表示P点，即P(x, y),然后利用条件列出(x, y)满足的方程化简则得解。 设计意图：通过三个案例进行分析，进一步熟悉圆的一般方程，灵活转化标准方程和一般方程，掌握求圆的切线的方法，