《直线的方向向量与平面的法向量(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】.docx

《直线的方向向量与平面的法向量(1)》教案 教学目标 教学目标 1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量的概念； 2.在学习实践中认识向量方法是解决立体几何问题的基本方法，形成看待立体几何问题的多元、多维观点． 教学重难点 教学重难点 重点：理解直线的方向向量的概念． 难点：能用向量语言描述直线． 教学过程 教学过程 一、情境导入 情境：在前面的学习中，我们认识到用空间向量解决立体几何问题的基本步骤是：首先将立体几何问题转化为向量问题，然后运用向量方法求解，最后再回到立体几何问题．几何特征的代数表述起着重要的作用． 我们知道，立体几何研究的基本对象是点、直线、平面，以及由它们组成的空间图形，因此用空间向量解决立体几何问题时，首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来． 那么如何用向量方法描述空间中的一个点、一条直线呢？ 设计意图：梳理用空间向量解决立体几何的思路，在此基础上，提出新的问题，引发学生思考． 二、新知探究 问题1：如何用向量表示空间中的一个点P? 答案：空间当中点的位置一定是相对于某一固定参照物来说的．如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量． 问题2：如何用向量表示空间中的一条直线l? 答案：由两点确定一条直线可知，若给定直线上的两点，则这条直线的位置也就唯一确定了． 如图，设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称AB为直线l的方向向量． 追问1：一条直线有多少个方向向量呢？ 答案：在数学中，我们学习的向量都是自由向量，因此，与AB平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，故一条直线有无数个方向向量，且这些方向向量都平行． 追问2：若给定直线上的一点及这条直线的方向，能否确定这条直线的位置？ 答案：如图，已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，显然直线l的位置被唯一确定，即，空间中任意一条直线l的位置可以由直线l上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定． 对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得MP= 反之，由几何知识不难确定，满足MP=ta的点P一定在直线l上．因此，我们把这个式子称为 问题3：取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线AB上的充要条件是什么？ 答案：如图，根据直线的向量表示可知：点P在直线AB上等价于存在实数t，使得AP=t 又因为AP=OP- 所以OP- 整理，得OP= 即，点P在直线AB上的充要条件是OP= 此结论可以证明空间三点共线． 三、应用举例 例1：在空间直角坐标系中，已知点A4，2，0，B1，3，3，点E是线段AB 解：设点E的坐标为x1，y1，z1 ∴x1 即，x1-4= ∴点E的坐标为52 总结：此类问题常转化为向量的共线、向量相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可． 例2：在空间直角坐标系中，已知点A1，1，0，B2，3，3，C0， 解：依题意知，AB=1，2， 因为点D为直线AB上的一点，所以存在实数λ，使得AD=λ CD= 由CD⊥AB，得CD·AB=0，即1 ∴ADAB 四、课堂练习 1.(多选)若点M1，0，-1，N A.2，2， C.3，1，1 2.已知直线l经过点A1，-1，2，直线l的一个方向向量为a=1， 3.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1，B1D=2DC1 参考答案： 1.解：因为点M，N在直线l上，MN=1，1，3，所以向量1，1 2.解：由题意知AP=x-1，y+1，z-2．因为a=1 3.解：AD =A 所以直线AD的一个方向向量是16 =3 所以直线AE的一个方向向量为34 五、课堂小结 1.直线的方向向量： 设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称AB为直线l的方向向量． 2.空间三点共线的充要条件： 点P在直线AB上等价于对空间任意一个确定实数O，存在实数t，使得 OP= 设计意图：引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识，培养学生的归纳总结能力，帮助学生深化对知识的理解与掌握，体会研究解决实际问题的思路、途径、方法，为进一步学习打下坚实基础． 六、布置作业 教材第119页练习第2，3，4题．