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《直线的方向向量与平面的法向量(1)》教案
教学目标
教学目标
1.能用向量语言描述直线,理解直线的方向向量的概念;
2.在学习实践中认识向量方法是解决立体几何问题的基本方法,形成看待立体几何问题的多元、多维观点.
教学重难点
教学重难点
重点:理解直线的方向向量的概念.
难点:能用向量语言描述直线.
教学过程
教学过程
一、情境导入
情境:在前面的学习中,我们认识到用空间向量解决立体几何问题的基本步骤是:首先将立体几何问题转化为向量问题,然后运用向量方法求解,最后再回到立体几何问题.几何特征的代数表述起着重要的作用.
我们知道,立体几何研究的基本对象是点、直线、平面,以及由它们组成的空间图形,因此用空间向量解决立体几何问题时,首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来.
那么如何用向量方法描述空间中的一个点、一条直线呢?
设计意图:梳理用空间向量解决立体几何的思路,在此基础上,提出新的问题,引发学生思考.
二、新知探究
问题1:如何用向量表示空间中的一个点P?
答案:空间当中点的位置一定是相对于某一固定参照物来说的.如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示,我们把向量OP称为点P的位置向量.
问题2:如何用向量表示空间中的一条直线l?
答案:由两点确定一条直线可知,若给定直线上的两点,则这条直线的位置也就唯一确定了.
如图,设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称AB为直线l的方向向量.
追问1:一条直线有多少个方向向量呢?
答案:在数学中,我们学习的向量都是自由向量,因此,与AB平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量,故一条直线有无数个方向向量,且这些方向向量都平行.
追问2:若给定直线上的一点及这条直线的方向,能否确定这条直线的位置?
答案:如图,已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量,显然直线l的位置被唯一确定,即,空间中任意一条直线l的位置可以由直线l上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定.
对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得MP=
反之,由几何知识不难确定,满足MP=ta的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为
问题3:取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线AB上的充要条件是什么?
答案:如图,根据直线的向量表示可知:点P在直线AB上等价于存在实数t,使得AP=t
又因为AP=OP-
所以OP-
整理,得OP=
即,点P在直线AB上的充要条件是OP=
此结论可以证明空间三点共线.
三、应用举例
例1:在空间直角坐标系中,已知点A4,2,0,B1,3,3,点E是线段AB
解:设点E的坐标为x1,y1,z1
∴x1
即,x1-4=
∴点E的坐标为52
总结:此类问题常转化为向量的共线、向量相等解决,设出要求点的坐标,利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可.
例2:在空间直角坐标系中,已知点A1,1,0,B2,3,3,C0,
解:依题意知,AB=1,2,
因为点D为直线AB上的一点,所以存在实数λ,使得AD=λ
CD=
由CD⊥AB,得CD·AB=0,即1
∴ADAB
四、课堂练习
1.(多选)若点M1,0,-1,N
A.2,2,
C.3,1,1
2.已知直线l经过点A1,-1,2,直线l的一个方向向量为a=1,
3.如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1,B1D=2DC1
参考答案:
1.解:因为点M,N在直线l上,MN=1,1,3,所以向量1,1
2.解:由题意知AP=x-1,y+1,z-2.因为a=1
3.解:AD
=A
所以直线AD的一个方向向量是16
=3
所以直线AE的一个方向向量为34
五、课堂小结
1.直线的方向向量:
设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称AB为直线l的方向向量.
2.空间三点共线的充要条件:
点P在直线AB上等价于对空间任意一个确定实数O,存在实数t,使得
OP=
设计意图:引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识,培养学生的归纳总结能力,帮助学生深化对知识的理解与掌握,体会研究解决实际问题的思路、途径、方法,为进一步学习打下坚实基础.
六、布置作业
教材第119页练习第2,3,4题.
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