《椭圆的简单几何性质(1)》示范公开课教案【高中数学北师大】.docxVIP

《椭圆的简单几何性质（1）》教案 教学目标 教学目标 1．掌握椭圆的简单几何性质． 2．能根据几何条件求出椭圆标准方程，利用椭圆的标准方程研究它的性质并画出图形． 教学重难点 教学重难点 重点：掌握椭圆的简单几何性质． 难点：利用椭圆的标准方程研究它的性质并画出图形． 教学过程 教学过程 新课导入 我们利用椭圆的定义及图象认识了椭圆并且得到椭圆的标准方程，接下来，与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们也可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 二、新知探究 问题1 由椭圆C的标准方程x2a2 1．范围 由方程①可得椭圆C上的任意一点P(x, y)总满足x 这说明椭圆C位于四条直线：x=-a，x=a，y=-b，y=b 2．对称性 根据椭圆方程的结构特点，可以发现：若(x0,y0)是椭圆方程的一组解，即x02a2+y02b2=1，则(x0，-y0)，(-x0，y0) ， 3．顶点 在椭圆C的标准方程①中，当x=0时， y=±b．这说明B1(0，-b)，B2(0，b)是椭圆C与y轴的两个交点．同理，当y=0时， 因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点．这四个交点叫作椭圆的顶点． 椭圆x2a2+y2b2=1 线段A1A2，B 且|A1A a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长． 问题2：观察图象，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，这是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量来刻画椭圆的扁平程度吗？这个量对椭圆的形状有何影响？ 答案：我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即ca 如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O=ca=e,显然0el． 问题3 当椭圆C的焦点在y轴上时，通过其标准方程y2a2 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x y 范围 -a -a 顶点 A1(-a,0) ，A2(a,0) A1(0,-a) ，A2(0,a) 轴长 长轴长为2a，短轴长为2b 焦点 F1(-c,0) F1(0,-c) 焦距 2c 对称性 对称轴：x轴、y轴．对称中心：坐标原点 离心率 0 答案：通过椭圆焦点在y轴上时其标准方程y2a2 注意：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c，最小值为a- (4)O为长轴中点、短轴中点、F1 (5)P为短轴端点时，∠F 三、应用举例 例1求椭圆9x2 解 将已知方程化为椭圆的标准方程 x 则a=5，b=3，c=a 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a=10，2b=6， 离心率是 e=c 两个焦点分别是 F1(-4， 椭圆的四个顶点分别是 A1(-5，0) ，A2 将方程变形为y=±3525-x2，由y=3525-x2 x 0 1 2 3 4 5 y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图)． 例2 求椭圆m2 解 由已知得x2 因为0m24 所以椭圆的焦点在x轴上，并且半长轴长a=1 半短轴长b=12m，半焦距 所以椭圆的长轴长2a=2m，短轴长 焦点坐标为(-32m 顶点坐标为(1m，0)，(-1 离心率e=c 总结：用方程研究椭圆几何性质的步骤： (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论) ． (3)求出a，b，c． (4)写出椭圆的几何性质． 例3 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行,实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆,地心为椭圆的一个焦点,如下图所示．假设航天员到地球表面的最近距离为d1,最远距离为d2,地球的半径为R,我们想象存在一个镜像地球,其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上,上面发射某种神秘信号,需要飞行中的航天员中转后地球上的人才能接收到,则传送神秘信号的最短距离为 解 设航天员到地球表面最近距离时在点P,最远距离时在点P1, 设椭圆的方程为x2a2+y 两焦点分别为F1，F2,飞行中的航天员为点 由已知可得d 则2a= 故传送神秘信号的最短距离为|PF 四、课堂练习 1．请说明椭圆x2a2+y2b2 2．根据下列条件，求椭圆的离心率： (1)长轴与短轴之比为3∶2； (2)以短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形． 3．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并以矩形为参照画出椭圆的图形：(1)x2+4y 参考答案：1．a为长半轴长，b为短半轴长，c为半焦距长，e为离心率，它们在图中的标记如图所示． 2．（1）由题